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In vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontrano svariate identità sui logaritmi.
Identità algebriche
Le identità più semplici
![{\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d722057c172d6205d8fa4f9639ba59195dcd4fa) | deriva da | |
![{\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ea1710fc1dd65eb503ff34f4e60ed931867574) | deriva da | |
![{\displaystyle \log _{1/b}(b)=-1\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c760c85c3c9c8531dea1d657ff92e8a80890f32) | deriva da | |
Semplificazione di calcoli numerici
I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.
![{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4357f1cdd9ab6b88f9a51c4d18e8c5197ddc1b) | deriva da | |
![{\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\dfrac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ce5c41d8e19546043146a73e6cc7daeb04ac11) | deriva da | |
![{\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6485980ba2ed99b52c491c5e5cbbb19f3e4688) | deriva da | |
![{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\dfrac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845808f713705b3dfe573f8c4e3e8e315e8ec516) | deriva da | |
Cancellazione con gli esponenziali (identità logaritmica)
La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.
![{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279efc9f676f2d56705091a6a06484d0ed2e05db) | deriva da | |
![{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c621245b883b70f51ff84cd7dcbf71f42717743) | deriva da | |
Cambiamento della base
![{\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fb3ff79634a5303ca921f4f9bf2cd6fbae1b43)
Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log10, ma nessuno che permetta il calcolo diretto di log2. Per ottenere il valore di un numero come log2(3), si può calcolare log10(3) / log10(2) (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).
Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:
![{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15dbdb202a6378003932e79acd2bb1445ab79b78)
![{\displaystyle \log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad482d75c3c9c44a4817ac3809be2082dba89945)
![{\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f5410f566d0437fa4e94f46fe96659a4676013)
Identità utili al calcolo infinitesimale
Limiti
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97e3b766f613f72683985f5d3a932d501431311)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa67f88a4aeae5b1822fb26b42fbeb3bd1b47b2)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}a>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e5ea060e0f4e26c780fd76480018f45ada4512)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851436ef0d5333f39dba51e66d1645eb98f35da2)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba195e3df473541352d62701ffdc4df98b6bd816)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc61bc472d1c09da8c868d1aa5848a322bd52fca)
L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile
".
Derivata delle funzioni logaritmiche
![{\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dac34c8c81c8e8fb310b0fc69572e6528a140d)
Integrali di funzioni logaritmiche
![{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e9d4b89241e2696ab222e6e33cb73c928a62af)
Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:
![{\displaystyle x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06288d0bdb6254c69b1e51bc9f20bf56f247de6)
dove
è l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identità:
![{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078fe3653cf35a30aea1b7f03ea554ae7670b967)
![{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12b6bda581e741822ed456b8e7c42955525db0)
![{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23ebc6182ae15d280622faa283d2d24289445cf)
![{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{4}}\end{matrix}}\,x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8f8e13e5c9125eb4c925d0c386b8ea41656e0a)
Di conseguenza
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1466307fb829dca298b9bfcce3e58bd33c52d8a)
![{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92036b7056a0179b00f4d6739640046d2e8553ba)
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