Il metodo di Laguerre è un metodo iterativo per trovare le radici reali di un polinomio, introdotto dal matematico francese Edmond Nicolas Laguerre.
La formula per l'iterazione è:
,
dove
è il valore iniziale scelto per innescare la procedura iterativa,
è il polinomio,
è la sua derivata prima,
è la sua derivata seconda,
è il grado del polinomio
. Il segno scelto per la radice quadrata deve essere concorde a quello di
quando non nullo, per ottenere il rapporto minore.
Cambiando il valore iniziale di
è possibile ricercare, se esiste, una radice reale diversa.
Esempio:
Sia ![{\displaystyle P(x)=4x^{4}+3x^{3}-5x^{2}-4x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cf197539ba80a15559e3f3275278ed85a77a1f)
quindi ![{\displaystyle P'(x)=16x^{3}+9x^{2}-10x-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b06f049c78d3b1598950260fde954c2ece85ffc)
e ![{\displaystyle P''(x)=48x^{2}+18x-10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1be210cbfa4f355e98c5ba68c014fac56489ba4)
Per ![{\displaystyle x_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d18a96da37e1748deeb8d4c590dd4ad6629efef)
![{\displaystyle x_{1}=0,1975496259559987...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6fdbf8e7ea7b17fc0b3e2d47f3d71fc3472b32)
![{\displaystyle x_{2}=0,2055025290836081...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af2d1554d1a5855b2ab3a2da366a845129548c8)
![{\displaystyle x_{3}=0,2055031204717088...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5eaf4e21b9911078e16dc5c7911d7b60bc202d0)
![{\displaystyle x_{4}=0,2055031204717088...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10e08e955629de2751d71d069efc510d7acf980)
per ![{\displaystyle x_{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd9ebf815134d1288a48491ff1529f06f477112)
![{\displaystyle x_{1}=1,0755226110163770...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f555e38ff7713616a0aadd52fcad4d1507e26940)
![{\displaystyle x_{2}=1,0756019089596258...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8176b7645ab9497d9d10d9e17d19649df61ce9bf)
![{\displaystyle x_{3}=1,0756019089597004...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8d52b33e100c0002b8579500d634221e10941e)
![{\displaystyle x_{4}=1,0756019089597004...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218f46f4aa82ed5d3dedf7c5dcacf5d46eebecff)
La convergenza del metodo di Laguerre è molto veloce.
Bibliografia
- Forman S. Acton - Numerical Methods that Work" Harper & Row., 1970 ISBN 0883854503.
- Edmond Nicolas Laguerre Oeuvres Complètes t. 1 (New York : Chelsea publ., 1972) ISBN 0828402639
- A. Ralston, P. Rabinowitz A first course in numerical analysis (New York: Dover, 2001) p. 371 ISBN 048641454X
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