Numero di Froude

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In meccanica dei fluidi il numero di Froude (abbreviato come $\mathrm {Fr}$ o $\mathrm {Fn}$ ) è un gruppo adimensionale che mette in relazione la forza d'inerzia e il peso; deve il suo nome a quello dell'ingegnere idrodinamico ed architetto navale inglese William Froude.

Definizione

Il numero di Froude è definito come la radice quadrata del rapporto fra forza d'inerzia e peso, che conduce a:^[1]

\mathrm {Fr} ={\frac {V_{0}}{\sqrt {g\,L_{0}}}}

dove:

$L$ ₀ è una lunghezza di riferimento [m];
$V_{0}$ è il modulo di una velocità di riferimento [m/s];
$g$ è il modulo dell'accelerazione di gravità [m/s²].

Il numero di Froude può essere anche espresso in funzione del numero di Richardson (è infatti il reciproco della sua radice quadrata).

L'inverso del numero di Froude è pari al numero di Reech.^[2]

Origine

Per ricavare l'espressione del numero di Froude, si esprime il rapporto tra forza d'inerzia e forza peso in termini generali.

La forza d'inerzia ( ${\vec {F}}$ ) può essere scritta, in base al secondo principio della dinamica classica, come prodotto tra massa ( $m$ ) ed accelerazione ( ${\vec {a}}$ ):

{\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}

In una situazione generica, considerando l'equazione in termini di modulo dei vettori, si considera una massa di riferimento $m_{0}$ , mentre l'accelerazione $a$ può essere espressa come il rapporto tra una lunghezza di riferimento $L_{0}$ e il quadrato di un tempo di riferimento $t_{0}$ , cioè:

F={\frac {m_{0}\,L_{0}}{t_{0}^{2}}}

moltiplicando e dividendo per $L_{0}$ , si ottiene:

F={\frac {m_{0}\,L_{0}^{2}}{t_{0}^{2}\,L_{0}}}

Si pone ${\frac {L_{0}}{t_{0}}}$ pari ad una velocità di riferimento $V_{0}$ , per cui:

F={\frac {m_{0}\,V_{0}^{2}}{L_{0}}}

La forza peso $P$ risulta essere il prodotto tra massa di un corpo ed accelerazione di gravità agente su di esso, ovvero:

P=m\cdot g

Ricorrendo a delle grandezze di riferimento, possiamo scrivere:

P=m_{0}\cdot g

Dividendo membro a membro le espressioni delle due forze in termini di grandezze di riferimento, abbiamo:

{\frac {F}{P}}={\frac {\left({\frac {m_{0}\,V_{0}^{2}}{L_{0}}}\right)}{m_{0}\,g}}={\frac {V_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}

a questo punto, mettendo il rapporto delle forze sotto radice, si ottiene l'espressione del numero di Froude:

{\sqrt {\frac {F}{P}}}={\sqrt {\frac {V_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}}={\frac {V_{0}}{\sqrt {g\,L_{0}}}}=\mathrm {Fr}

Adimensionalità

Per verificare l'adimensionalità del numero di Froude si sfrutta l'analisi dimensionale, cioè si esprimono i parametri in termini di grandezze fondamentali nel sistema internazionale di unità di misura.

Considerando l'equazione dimensionale^[3]:

[\mathrm {Fr} ]={[V] \over [{\sqrt {g\cdot h}}]}={[m\cdot s^{-1}] \over [m\cdot s^{-2}\cdot m]^{1 \over 2}}={{[m]\cdot [s]^{-1}} \over {[m]\cdot [s]^{-1}}}=1

Siccome il risultato dell'eguaglianza è un valore numerico privo di unità di misura, ne discende che il numero di Froude è un numero adimensionale.

Applicazioni

Correnti fluviali a pelo libero

Lo stesso argomento in dettaglio: Correnti a pelo libero.

Per lo studio delle correnti a pelo libero, la lunghezza caratteristica $L_{0}$ del numero di Froude assume il valore dell'altezza del tirante idrico $h_{m}$ della sezione trasversale fluviale rettangolare di area uguale a quella della sezione trasversale considerata, quindi:^[4]

\mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g\cdot h_{m}}}}={\frac {U}{\sqrt {g\cdot A/B}}}

dove:

$U$ è la velocità media della corrente nella sezione trasversale del fiume, in m/s;
$A$ è l'area bagnata nella sezione, in m²;
$B$ è la larghezza del pelo libero in superficie nella sezione, in m;
$h_{m}$ è l'altezza del tirante idrico della sezione rettangolare di area uguale a quella della sezione considerata, in m.

Dal numero di Froude si può determinare:

se la corrente in una certa sezione trasversale sarà subcritica (lenta), critica o supercritica (veloce);
se quando c'è il passaggio della corrente attraverso l'altezza critica si verifica un risalto idraulico o un salto diretto^{[non chiaro]};
il tipo di risalto idraulico che si verifica.

Corrente subcritica, critica e supercritica

La seguente trattazione parte dall'ipotesi che il vettore velocità della perturbazione abbia una componente verticale costante, perciò non rientrano tra queste le comuni onde marine e le onde generate dalle navi con il loro moto (le onde a cui Froude era maggiormente interessato).

Il numero di Froude ha un significato cinematico correlato alla tipologia di regime di moto di una corrente a pelo libero, che può essere di tipo subcritico, critico o supercritico. Inoltre, si può dimostrare che per un liquido incomprimibile confinato inferiormente in un canale, la quota del pelo libero dipende dal numero di Froude.

A tal fine, si consideri una perturbazione della superficie libera di ampiezza infinitesima $dh$ che risale la corrente con velocità di modulo $v$ , assunto positivo quando il vettore velocità della perturbazione ${\vec {v}}$ è di verso opposto al vettore velocità della corrente ${\vec {U}}$ e negativo quando il vettore ${\vec {v}}$ ha lo stesso verso del vettore ${\vec {U}}$ . A causa dell'innalzamento della superficie libera in prossimità della perturbazione si ha un rallentamento infinitesimo della corrente $dU$ .

Si applicano i bilanci di massa e di energia al volume di controllo in esame^{[non chiaro]}, assunto il moto unidirezionale rispetto all'asse orizzontale e quindi considerando solo i moduli dei vettori velocità, $U$ per ${\vec {U}}$ e $v$ per ${\vec {v}}$ .

dal bilancio di massa si ricava:
$(U+v)\cdot h_{m}=(U+v-dU)\cdot (h_{m}+dh)$
dal bilancio di energia si ricava:
$h_{m}+z+{\frac {1}{2\,g}}(U+v)^{2}=h_{m}+dh+z_{f}+{\frac {1}{2\,g}}(U+v-dU)^{2}$

dove $z_{f}$ indica la quota del fondo del canale.

Dal bilancio di massa, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ricava la seguente l'espressione:

(U+v)\cdot h_{m}=(U+v)\cdot h_{m}+(U+v)\cdot dh-dU\cdot h_{m}

la quale semplificata equivale a:

0=(U+v)\cdot dh-dU\cdot h_{m}

Riarrangiando i termini si ottiene:

(U+v)\cdot dh=dU\cdot h_{m}

Sfruttando l'equazione del bilancio di energia e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ricava la seguente espressione:

{\frac {1}{2\,g}}(U+v)^{2}=dh+{\frac {1}{2\,g}}((U+v)^{2}-2(U+v)\cdot dU)

che semplificata equivale a:

dh={\frac {1}{g}}(U+v)\cdot dU

Inserendo tale espressione di $dh$ nell'equazione del bilancio di massa, si ottiene:

{\frac {1}{g}}(U+v)^{2}\cdot dU=dU\cdot h

Semplificato il termine $dU$ e moltiplicando entrambi i membri dell'equazioni per $g$ , si ottiene:

(U+v)^{2}=g\cdot h_{m}

Applicando la radice quadra ad entrambi i membri dell'equazione si ottengono le seguenti due soluzioni distinte $v_{1}$ e $v_{2}$ :

{\begin{cases}U+v_{1}=+{\sqrt {g\cdot h_{m}}}\\U+v_{2}=-{\sqrt {g\cdot h_{m}}}\end{cases}}

Esplicitando $v$ nelle due equazioni si ha:

{\begin{cases}v_{1}=-U+{\sqrt {g\cdot h_{m}}}\\v_{2}=-U-{\sqrt {g\cdot h_{m}}}\end{cases}}

La velocità di un lato del fronte d'onda della perturbazione ( $v_{2}$ ) è sempre di segno negativo, essendo dato dalla somma cambiata di segno di due quantità sempre positive, e quindi discende sempre la corrente; la velocità dell'altro lato della perturbazione ( $v_{1}$ ), invece, può essere di segno negativo o positivo a seconda che $U$ sia rispettivamente maggiore o minore di ${\sqrt {g\cdot h_{m}}}$ .

Perciò, qualora il fronte d'onda di monte della perturbazione non riesca a risalire la corrente, cioè nel caso $U$ sia maggiore di ${\sqrt {g\cdot h_{m}}}$ e quindi maggiore di $v_{1}$ , il numero di Froude è maggiore di 1, e si è in condizioni supercritiche^[5]; nel caso in cui il fronte d'onda di monte della perturbazione riesca a risalire la corrente, cioè nel caso $U$ sia inferiore di ${\sqrt {g\cdot h_{m}}}$ e quindi inferiore di $v_{1}$ , il numero di Froude è minore di 1, e si dice che si è in condizioni subcritiche^[6].

Ricapitolando si ha che:^[4]

se $\mathrm {Fr} <1$ la corrente è subcritica (lenta);
se $\mathrm {Fr} =1$ la corrente è nel suo punto critico;
se $\mathrm {Fr} >1$ la corrente è supercritica (veloce).

A parità di condizioni al contorno, il tirante idrico $h_{m}$ in regime di moto subcritico risulta essere maggiore di quello in regime di moto supercritico.

Risalto idraulico

Lo stesso argomento in dettaglio: Risalto idraulico.

Per valutare il raccordo tra corrente lenta e corrente veloce si ha che:

se $\mathrm {Fr} ^{2}<2$ si è in presenza di un salto diretto;
se $\mathrm {Fr} ^{2}>2$ si è in presenza di un risalto idraulico.^{[senza fonte]}

Per conoscere il tipo di risalto idraulico che si verifica si fa riferimento al valore del numero di Froude $\mathrm {Fr} _{1}$ nella sezione di monte al passaggio dalla corrente veloce alla corrente lenta; in particolare si hanno i seguenti intervalli di valori:^[7]

se $\mathrm {Fr} _{1}\in [1,0\ ;\ 1,7]$ si ha un risalto ondulato, con onde stazionarie e l'altezza coniugata nel risalto di valle è di poco maggiore a quella di monte;
se $\mathrm {Fr} _{1}\in [1,7\ ;\ 2,5]$ si ha un risalto debole, con piccole ondulazioni della superficie e l'altezza coniugata nel risalto di valle è due o tre volte quella di monte;
se $\mathrm {Fr} _{1}\in [2,5\ ;\ 4,5]$ si ha un risalto oscillante, con pulsazioni intense che possono danneggiare i canali in terra;
se $\mathrm {Fr} _{1}\in [4,5\ ;\ 9,0]$ si ha un risalto stazionario, con onde stabili e grandi dissipazioni di energia;
se $\mathrm {Fr} _{1}>9,0$ si ha un risalto impetuoso, con onde violente e intermittenti e l'altezza coniugata nel risalto di valle è maggiore di dodici volte quella di monte.

Idrodinamica navale

Nelle applicazioni idrodinamiche marine, il numero di Froude viene solitamente indicato con la notazione $\mathrm {Fn}$ ed è definito come:^[8]

\mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {g\cdot L}}}

dove:

$u$ è la velocità di flusso relativa tra mare e nave;
$g$ è l'accelerazione di gravità;
$L$ è la lunghezza della nave al livello della linea di galleggiamento, o $L_{w1}$ in alcune notazioni.

È un parametro importante rispetto alla resistenza al moto della nave, specialmente in termini di resistenza d'onda.

Nel caso di imbarcazioni plananti, dove la lunghezza della linea di galleggiamento è troppo dipendente dalla velocità per essere significativa, il numero di Froude è meglio definito come "numero di Froude volumetrico" e la lunghezza di riferimento è considerata come la radice cubica dello spostamento volumetrico dello scafo:

\mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g\cdot {\sqrt[{3}]{V}}}}}

Note

^ Weisstein (1).
^ Weisstein (2).
^ Le parentesi quadre attorno ad una grandezza indicano che si stanno considerando le sue unità di misura.
^ ^a ^b Çengel et al. (2007), p. 436.
^ essendo $U$ maggiore della velocità critica ${\sqrt {g\cdot h_{m}}}$
^ essendo $U$ minore della velocità critica ${\sqrt {g\cdot h_{m}}}$
^ Çengel et al. (2007), p. 472.
^ Newman (1977), p. 28.

Bibliografia

Yunus A. Çengel e John M. Cimbala, Meccanica dei fluidi, a cura di Giuseppe Cozzo e Cinzia Santoro, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6384-0, OCLC 799749775.
(EN) Eric W. Weisstein, Froude Number -- from Eric Weisstein's World of Physics, su scienceworld.wolfram.com.
(EN) Eric W. Weisstein, Reech Number -- from Eric Weisstein's World of Physics, su scienceworld.wolfram.com.
Articolo di Le Scienze "Come lappa il gatto: un miracolo fluidodinamico", su lescienze.espresso.repubblica.it.
John Nicholas Newman, Marine hydrodynamics, Cambridge, Massachusetts, MIT Press, 1977, ISBN 978-0-262-14026-3.