Operatore di d'Alembert

L'operatore di d'Alembert (rappresentato con un quadrato: ${\displaystyle \Box }$), anche chiamato operatore dalembertiano^[1] dal nome di Jean Baptiste Le Rond d'Alembert oppure operatore delle onde, è l'estensione dell'operatore di Laplace nello spazio di Minkowski e di altre soluzioni delle equazioni di Einstein. È impiegato nella teoria delle onde, nell'elettromagnetismo e nella relatività speciale e generale.

In meccanica classica l'operatore dalembertiano si scrive:

${\displaystyle \Box =\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}\partial _{t}^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}\partial _{t}^{2}}$

dove v è la velocità dell'onda e ${\displaystyle \nabla ^{2}=\Delta }$ è l'operatore di Laplace. Nella relatività ristretta il dalembertiano prende la forma:

${\displaystyle \Box =\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\nu \mu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }=-\partial _{0}^{2}+\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\partial _{3}^{2}=\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}}$

dove ${\displaystyle \Delta }$ è il laplaciano ed ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ è il tensore metrico dello spazio-tempo di Minkowski con la segnatura ${\displaystyle (-1,\;1,\;1,\;1)}$. È immediato verificare che il dalembertiano è un operatore invariante sotto trasformazioni di Lorentz e perciò non varia le proprietà di trasformazione dei tensori a cui è applicato.

Altre notazioni

Oltre al simbolo ${\displaystyle \Box }$ (quadrato) è spesso usato per l'operatore d'Alembertiano anche il simbolo ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {M} }}$, in analogia con il laplaciano (${\displaystyle \mathbf {M} }$ sta ad indicare lo spazio di Minkowski), oppure il simbolo ${\displaystyle \Box ^{2}}$. A volte ${\displaystyle \Box }$ è usato per rappresentare la derivata covariante quadri-dimensionale di Levi-Civita. Il simbolo ${\displaystyle \nabla }$ (nabla) è usato invece per rappresentare le derivate spaziali, ma dipendente dalle coordinate.

Un altro modo per scrivere l'operatore d'Alembertiano è ${\displaystyle \partial ^{2}}$. La notazione è comoda in teoria quantistica dei campi dove le derivate parziali sono di solito indicizzate.

Note

Voci correlate

• Operatore differenziale
• Operatore Nabla
• Operatore di Laplace
• Onda elettromagnetica
• Teoria della relatività ristretta

Collegamenti esterni

• dalembertiano, operatore, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• dalembertiano, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• Operatore di d'Alembert, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Operatore di d'Alembert, su MathWorld, Wolfram Research.

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