Operatore normale

In matematica, in particolare in analisi funzionale, un operatore normale in uno spazio di Hilbert (complesso), o equivalentemente in una C*-algebra, è un operatore lineare continuo che commuta con il suo aggiunto.^[1] Questi operatori sono importanti per il fatto che ad essi si applica il teorema spettrale.

Inoltre, nel caso finito-dimensionale, la matrice associata a un operatore normale rispetto a una base ortonormale dello spazio di Hilbert è una matrice normale.

Definizione

Dato uno spazio di Hilbert $H$ definito sul campo dei numeri complessi, un endomorfismo $N:H\to H$ si dice normale se:^[2]

N\,N^{*}=N^{*}N

In modo equivalente, $N$ è normale se e solo se:

\|N(v)\|=\|N^{*}(v)\|\quad \forall v\in H

Si ha inoltre che:

{\textrm {Ker}}(N^{*})={\textrm {Ker}}(N)

{\textrm {Im}}(N^{*})={\textrm {Im}}(N)

Tra gli endomorfismi normali vi sono gli endomorfismi autoaggiunti, gli endomorfismi emisimmetrici e gli endomorfismi unitari.

Il teorema spettrale

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema spettrale.

Gli operatori normali sono soggetti al teorema spettrale: gli autovalori, in questo caso, sono in generale numeri complessi.

Sia $T$ un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione finita $n$ , dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Il teorema spettrale afferma che $T$ è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di $V$ composta da autovettori di $T$ .^[2] L'endomorfismo $T$ è quindi diagonalizzabile.

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria, ovvero per ogni matrice normale $H$ esistono una matrice unitaria $U$ ed una diagonale $D$ per cui:

D=U^{-1}HU=\,^{t}\!{\bar {U}}HU

I vettori colonna di $U$ sono gli autovettori di $A$ e sono reciprocamente ortogonali.

Come corollario segue che l'operatore $T$ è autoaggiunto se e solo se la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se $T$ è unitario il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.

Decomposizione spettrale

Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità.

Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la misura a valori di proiettore è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

Caso finito-dimensionale

Lo stesso argomento in dettaglio: Proiezione ortogonale.

Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di $T$ sono ortogonali e in somma diretta:

V=V_{\lambda _{1}}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda _{k}}

Equivalentemente, se $P_{\lambda }$ è la proiezione ortogonale su $V_{\lambda }$ , si ha:

A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{k}P_{\lambda _{k}}\qquad P_{\lambda }P_{\mu }=0\quad \lambda \neq \mu

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

Caso infinito-dimensionale

Lo stesso argomento in dettaglio: Misura a valori di proiettore e Diagonalizzabilità.

Sia $A$ un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert $H$ . Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore $P^{A}$ tale per cui:

A=\int _{\sigma (A)}zdP^{A}(x,y)\qquad z:=(x,y)\to x+iy\in \mathbb {C} \quad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}

dove $\sigma (A)={\mbox{supp}}(P^{A})$ è lo spettro di $A$ . Si dice che $P^{A}$ è la misura a valori di proiettore associata ad $A$ .

In particolare, se $A$ è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)

definita sullo spettro $\sigma (A)$ di $A$ , in cui $\chi _{\Omega }$ è la funzione indicatrice. Tale misura può essere univocamente associata ad $A$ nel seguente modo:

(\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H

per ogni funzione misurabile limitata $f$ , e in tal caso si ha:

A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di $A$ .^[3]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) $A$ a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare $A$ tramite una misura a valori di proiettore limitata $P^{A}$ allora $P^{A}$ è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad $A$ . Ogni operatore limitato autoaggiunto $A$ può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata $P^{A}$ .

Note

^ A. Tatone - Corso di matematica applicata
^ ^a ^b S. Lang, Pag. 252.
^ Reed, Simon, Pag. 234.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
(EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.