Radicale di un ideale

In matematica, e più precisamente in algebra, il radicale (o nilradicale) di un ideale ${\displaystyle I}$ di un anello commutativo è l'ideale formato da tutti gli elementi dell'anello di cui è possibile trovare una potenza contenuta in ${\displaystyle I}$ o, equivalentemente in un anello commutativo unitario come l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti ${\displaystyle I}$. Un ideale che coincide con il suo radicale si dice un ideale radicale.

Il radicale di ${\displaystyle I}$, denotato con ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ o con ${\displaystyle \mathrm {rad} (I)}$, è un ideale radicale contenente ${\displaystyle I}$ e, più precisamente, è il più piccolo ideale radicale contenente ${\displaystyle I}$.

Il radicale dell'ideale ${\displaystyle (0)}$ dell'anello ${\displaystyle A}$ è detto radicale (o nilradicale) di ${\displaystyle A}$, e viene spesso indicato con ${\displaystyle \mathrm {rad} (A)}$.

Il radicale di un ideale è collegato molto strettamente con la geometria algebrica attraverso il teorema degli zeri (o "Nullstellensatz") di Hilbert, che afferma che, se ${\displaystyle K}$ è un campo algebricamente chiuso, gli ideali radicali dell'anello dei polinomi ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ sono in corrispondenza biunivoca con gli insiemi algebrici dello spazio affine ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}}$.

Sia ${\displaystyle I}$ un ideale di un anello commutativo ${\displaystyle A}$. Il radicale di I è l'insieme

${\displaystyle {\sqrt {I}}:=\{x\in A|\exists n\in \mathbb {N} :x^{n}\in I\}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ è effettivamente un ideale, in quanto

${\displaystyle x^{n}\in I\Longrightarrow (ax)^{n}\in I}$ per ogni ${\displaystyle a\in A}$

se ${\displaystyle x^{n},y^{m}\in I}$, allora ${\displaystyle (x+y)^{n+m-1}=\left(x^{n+m-1}+\ldots +c_{n}x^{n}y^{m-1}\right)+\left(c_{m}y^{m}x^{n-1}+\ldots +y^{n+m-1}\right)\in I}$

Equivalentemente in un anello commutativo unitario, il radicale di ${\displaystyle I}$ è l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti ${\displaystyle I}$: se infatti ${\displaystyle x^{n}\in I}$, allora ${\displaystyle x^{n}\in P}$ per ogni ideale primo ${\displaystyle P\supseteq I}$, e quindi ${\displaystyle x\in P}$; viceversa, se ${\displaystyle x\in P}$ per ogni ideale primo contenente ${\displaystyle I}$, allora l'insieme degli ideali che contengono ${\displaystyle I}$ ma non contengono alcuna potenza di ${\displaystyle x}$ ammette un elemento massimale (grazie al lemma di Krull), che è possibile dimostrare essere primo, contro l'ipotesi che ${\displaystyle x}$ fosse contenuto in tutti gli ideali primi contenenti ${\displaystyle I}$.

In particolare, il nilradicale di ${\displaystyle A}$, ovvero il radicale dell'ideale nullo, coincide con l'intersezione di tutti gli ideali primi di ${\displaystyle A}$.

La seconda caratterizzazione del radicale è utile per analizzarne il comportamento tramite omomorfismi: se ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ è un omomorfismo il cui nucleo è contenuto in ${\displaystyle I}$, allora ${\displaystyle f({\sqrt {(}}I))={\sqrt {f(I)}}}$; in particolare, se ${\displaystyle \pi :A\longrightarrow A/I}$ è la proiezione canonica, ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ è la controimmagine del radicale dell'ideale nullo in ${\displaystyle A/I}$, ovvero del radicale di ${\displaystyle A/I}$. In particolare, ${\displaystyle I}$ è un ideale radicale se e solo se ${\displaystyle A/I}$ è un anello ridotto.

Inoltre, questa caratterizzazione implica che un ideale primo contiene ${\displaystyle I}$ se e solo se contiene ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$: ne segue che ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$ (in quanto sono l'intersezione degli elementi dello stesso insieme) e, inoltre, che i chiusi ${\displaystyle V(J)}$ definiti da ${\displaystyle I}$ e da ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ nella topologia di Zariski dello spettro dell'anello coincidono.

Altre proprietà legano il radicale di ${\displaystyle I}$ alle operazioni tra ideali:

• ${\displaystyle {\sqrt {I+J}}={\sqrt {{\sqrt {I}}+{\sqrt {J}}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {IJ}}={\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}=A\iff I=A}$

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.

• Radicale di Jacobson

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