In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.
Equazioni differenziali ordinarie
Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015884c6270dc2fdbd0bdefb3932cf9ddd7a937c)
con
. Se
si possono riordinare i termini:
![{\displaystyle \int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9e2f4ea9d24aecc3b05ca7f302e72350d1ea5d)
in modo che le variabili
e
siano separate ognuna in uno dei due membri.
Una delle equazioni più significative a cui si applica il metodo è
, la crescita esponenziale.
Esempio
Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione logistica. La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:
![{\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f475b73fca6d665c78cc73ddd37dc9d45f91c5)
dove
è la popolazione in funzione del tempo
,
è il suo tasso di crescita e
è la capacità portante dell'ambiente. Riordinando i termini e integrando:
![{\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189fc699913f74cf9df85dc1b94ab7ed1a3f88e3)
Per valutare l'integrale a sinistra si semplifica la frazione:
![{\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8d2ca9291548ff1dd7b17e92c7f51126856af6)
e quindi la si decompone in fratti semplici:
![{\displaystyle {\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2651532bc0938d34f3ee9a8332040deb56624ac)
Si ha quindi:
![{\displaystyle \int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc7404e79047006f0945867c4045f50d2218da7)
Uguagliando gli integrandi:
![{\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab12eaab789d07e128985055cc4b8f5855ecd2d)
da cui:
![{\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e597fca8b65f82e7baf9cfa5399eb9e1466328)
per le proprietà dei logaritmi:
![{\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbd13f5140c6a7bfa3ff1b668896e34d88ee7a1)
Si ha:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}=e^{-C}e^{-kt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9af2f368eaf350918d58169fcc249485ae56c4)
e quindi:
![{\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d173fe826f8c6c7f4bb8e99471fb12eb0177664)
Sia
. Allora:
![{\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697119030f8056393133cd4364fa595fef3d4284)
che si può riscrivere:
![{\displaystyle {\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d011b8306e3dd920436054dd5f49365eb7ef04e1)
da cui si ricava:
![{\displaystyle P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc5641998ac06b1dbbb98600a98f35ccbaf0a16)
Quindi la soluzione all'equazione logistica è:
![{\displaystyle P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59bf6e48326ff27651eb2dabca4f825a5d25d79b)
Per trovare
, sia
e
. Si ha:
![{\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab252ddde6300fc742df5788d40a7f1111ecb38)
Notando che
, risolvendo per
si ha:
![{\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bceeb68d45bd242e9d4d0cd8892fcfca9fd1103)
Equazioni alle derivate parziali
Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.
Caso omogeneo
Data l'equazione della diffusione in una dimensione:
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f256e9bf70745636dfba0abff510c67978726add)
con condizione al contorno:
![{\displaystyle u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f981c1e4ae4d9b3ed2f9d38ea3a274d3152bfa)
si cerca di trovare una soluzione
non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che sia un prodotto in cui la dipendenza da
e
è separata, ovvero:
![{\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001c33d3bba9fcd2bb93fd63e4c49cf7ae2725c4)
Sostituendo
nell'equazione e usando la regola del prodotto:
![{\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2106ebe22e78aeb9d8042c3fb3e84547dc0d3efd)
Dato che il membro alla destra dipende solo da
e quello alla sinistra solo da
, entrambi sono uguali ad una qualche costante
:
![{\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t)\qquad X''(x)=-\lambda X(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69a18df0a0615515a4a8b9b00ba2f868aeac1f8)
dove
è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con
e
le rispettive autofunzioni.
Per mostrare che non vi sono soluzioni per
, si osserva inizialmente che per
esistono due numeri reali
e
tali che:
![{\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b724a7a73a0896a976ded3f7520e4b8ee2522333)
Utilizzando le condizioni al contorno si ha che
, da cui si ha
, che implica che
è nulla. Supponendo
, del resto, in tal caso esistono due numeri reali
e
tali che:
![{\displaystyle X(x)=Bx+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8036e554d7dfab34a09c119caaf06b10d0a651d4)
Dal fatto che
si conclude in modo analogo che
è nulla. Quindi, deve essere
, ed esistono
,
e
tali che:
![{\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}\qquad X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a331b6856f8f8793e62dad156314b39fcb9b90d)
Sfruttando nuovamente
, si ha
e che per qualche intero positivo
si verifica:
![{\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe1d7b152b369e1a5764bfac418407f8227e444)
Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di
ha la forma
. In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:
![{\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334297c4e90c72cd281fdcdd32d1ab0477e048bc)
dove
sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.
Se la condizione iniziale è:
![{\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a544b8a645021547d39459ec307e84308341843)
si ottiene:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c3e8be8367585390df37035ed799851c9d80cd)
che è l'espansione in serie di seni di
. Moltiplicando ambo i membri per
e integrando nell'intervallo
si ha:
![{\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79604046078d2aa91715261b7ce85775a4bf7a1e)
Questo metodo richiede che le autofunzioni di
, che in tal caso sono:
![{\displaystyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb8b40bdca9f3dba7c91d240b8d183520a22931)
siano ortogonali e siano una base completa. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.
Caso non omogeneo
Si consideri l'equazione non omogenea:
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=h(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8d8468f302f574bdbe3e5c8497abd5cf39937f)
con le medesime condizioni iniziali di quella omogenea. Le funzioni
,
e
possono essere espanse in serie di seni:
![{\displaystyle h(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d077ac53a1414e958a84dc870eded44c68f5c4a)
![{\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e22a940954a4c48ecbb3013b6a91df18fd7a87f)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37f6239244e2626d77f7b74ea84ec9a943e87fd)
dove
e
possono essere calcolati per integrazione, mentre
deve essere determinato. Sostituendo le espansioni di
e
nell'equazione non omogenea e considerando l'ortogonalità delle funzioni seno si ottiene:
![{\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00115e26bb784c9e847ea6d680739b4a4a8d905)
che è una successione di equazioni differenziali lineari che possono essere risolte facilmente con alcuni metodi quali il fattore di integrazione o la trasformata di Laplace. Alla fine si ottiene:
![{\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af05c9a6135d4fd1a79c575d54295bc75880fefe)
Il metodo può essere utilizzato anche per coordinate curvilinee ortogonali, anche se con alcune differenze rispetto alle coordinate cartesiane.
Software
Xcas:[1] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]
Note
- ^ Symbolic algebra and Mathematics with Xcas (PDF), su www-fourier.ujf-grenoble.fr.
Bibliografia
- (EN) Andrei D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2002, ISBN 1-58488-299-9.
- (EN) Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers[collegamento interrotto], Boston, MA, 2007, ISBN 978-0-8176-4393-5. URL consultato il 29 marzo 2011.
- (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Graduate Studies in Mathematics, vol. 140, Providence, RI, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) separation of variables, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Eric W. Weisstein, Separazione delle variabili, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Separazione delle variabili, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
- (EN) Examples of separating variables to solve PDEs
- (EN) "A Short Justification of Separation of Variables" (PDF), su math-cs.gordon.edu.
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