ガウス関数

この項目では、正規分布に関連した関数について説明しています。ガウス記号 [·] で表される関数については「床関数」をご覧ください。

ガウス関数（ガウスかんすう、英: Gaussian function）は、

$a\exp \left\{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right\}$

の形の初等関数である。なお、2c² のかわりに c² とするなど、表し方にはいくつかの変種がある。

ガウシアン関数、あるいは単にガウシアンとも呼ばれる。

図のような釣鐘型の関数である。

特徴

正規分布関数（正規分布の確率密度関数）として知られる

${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }}\exp \left\{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right\}$

は、ガウス関数の一種である。この関数の半値半幅 (HWHM) と半値全幅 (FWHM) は、

${\begin{aligned}\mathrm {HWHM} &={\sqrt {2\ln 2}}\cdot \sigma ,\\\mathrm {FWHM} &=2{\sqrt {2\ln 2}}\cdot \sigma \end{aligned}}$

である。

ガウス関数の1つ exp(−x²) の両側無限積分はガウス積分と呼ばれ、

$\int _{-\infty }^{\infty }\exp({-x^{2}})\,dx={\sqrt {\pi }}$

である。

光学分野においては、超短パルスの波形をガウス関数に近似することが多い。