ピカール・レフシェッツ理論

数学において、ピカール・レフシェッツ理論は複素多様体上の位相的性質を、多様体上の正則関数の臨界点を見ることによって調べる理論である。この理論はエミール・ピカールが複素曲面に対して著書 Picard & Simart (1897) 内で導入し、 Lefschetz (1924) において高次元へ拡張された。ピカール・レフシェッツ理論は、実多様体の位相的性質を実関数の臨界点によって調べるモース理論の複素版である。Deligne & Katz (1973) においてピカール・レフシェッツ理論はさらに一般の体上に拡張され、ドリーニュはこの一般化をヴェイユ予想の証明の中で用いた。

ピカール・レフシェッツ公式

ピカール・レフシェッツ公式は臨界点におけるモノドロミーを描写する。

f を (k + 1) 次元複素射影多様体から射影直線 P¹への正則写像とする。すべての臨界点は非退化かつそれぞれ異なるファイバー上に存在すると仮定し、それらの像を x₁, ..., x_n ∈ P¹ と書く。x ≠ x₁, ..., x_n なる点 x ∈ P¹ を取る。基本群 π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) は点 x_i の周りを周るループ w_i によって生成され、各点 x_i に対して x におけるファイバー Y_x のホモロジー H_k(Y_x) 内の消滅サイクル（英語版）(vanishing cycle)が存在する。ここで、ファイバーは複素次元 k であり、よって実次元 2k であることからこのホモロジーの次数は中間の次数であることに注意せよ。 H_k(Y_x) 上の π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) のモノドロミー作用は以下のピカール・レフシェッツ公式で得られる(他のホモロジー群上のモノドロミー作用は自明である)。 $\gamma$ ∈ H_k(Y_x) への基本群の生成元 w_i でのモノドロミー作用は

w_{i}(\gamma )=\gamma +(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle \delta _{i}

で与えられる。ここで、δ_i は x_i の消滅サイクルである。この公式は k = 1 のとき Picard & Simart (1897, p.95) において非明示的に(消滅サイクル δ_i の係数の明示なしに)現れている。Lefschetz (1924, chapters II, V) では任意の次元で明示的な公式が与えられている。

参考文献

Deligne, Pierre; Katz, Nicholas (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, Lecture Notes in Mathematics, 340, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0060505, MR0354657
Lamotke, Klaus (1981), “The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz”, Topology. An International Journal of Mathematics 20 (1): 15–51, doi:10.1016/0040-9383(81)90013-6, ISSN 0040-9383, MR592569, https://doi.org/10.1016/0040-9383(81)90013-6
Lefschetz, S. (1924), L'analysis situs et la géométrie algébrique, Gauthier-Villars, MR0033557
Lefschetz, Solomon (1975), Applications of algebraic topology. Graphs and networks, the Picard-Lefschetz theory and Feynman integrals, Applied Mathematical Sciences, 16, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90137-4, MR0494126, https://books.google.com/books?id=eqCyQgAACAAJ
Picard, É.; Simart, G. (1897) (French), Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I, Paris: Gauthier-Villars et Fils., https://archive.org/details/thoriedesfoncti00simagoog
Vassiliev, V. A. (2002), Applied Picard–Lefschetz theory, Mathematical Surveys and Monographs, 97, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2948-6, MR1930577