![曖昧さ回避](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png) | この項目では、特殊関数であるベータ関数について説明しています。場の量子論であつかうベータ関数については「ベータ関数 (物理学)」をご覧ください。 |
数学におけるベータ関数(ベータかんすう、英: beta function)とは、特殊関数のひとつである。ベータ関数は、第一種オイラー積分とも呼ばれる(なお、ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は、第二種オイラー積分と呼ばれる)。
一般化された関数として、セルバーグ積分がある。
定義
,
を満たす複素数
,
に対して、ベータ関数は次式で定義される:
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y):=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559a6b73feaaf8be23a44deba79f0cd135857cae)
性質
対称性
ベータ関数は次のような対称性を持つ。
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (y,\,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4380167731b9aed991cb3c3c78d88d619e37bd6a)
証明
置換積分による計算を行う。
とおくと、
であり、また積分区間は
から
へと変化するから、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,\,y)&=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t\\&=-\int _{1}^{0}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}t^{y-1}(1-t)^{x-1}\,{\rm {d}}t\\&=\mathrm {B} (y,\,x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e838f80bf7fbb63620ddaf0d2a21ce16931e21)
したがって、
が示された。
関数等式
ベータ関数は次の関係式を満たす。
![{\displaystyle x\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x+1,\,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c476896036c2c07d84f8176f6d9e9d772bb9974f)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (x+1,\,y)+\mathrm {B} (x,\,y+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4741deb2d8e488f430ec3455564befbf5e6f72fb)
![{\displaystyle (x+y)\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x,\,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f40f41c3daac2f9411ed68f7737e5e1a76ac23)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,x)=2^{1-2x}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,x\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6918bed5ebd49613d3e5f07109e2a1ffc7c91a87)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\,\mathrm {B} (x+y,\,z)=\mathrm {B} (y,\,z)\,\mathrm {B} (y+z,\,x)=\mathrm {B} (z,\,x)\,\mathrm {B} (z+x,\,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecddfb21e320baceaff032879b0fda9d8d9d548)
積分表示
変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも、定義域は
、
である。
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,{\rm {d}}\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375df48e46b87383b8774bf83750357bb405f42a)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736befd443ee37f68b36ce41c6fe3a923930ab75)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {1}{2^{x+y-1}}}\int _{-1}^{1}(1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d2626d9302717639e7d31d5e554ce44e3c7415)
ポッホハマーの表示
のリーマン面上の積分路として、実軸上の
内の点から出発し、
を正の向きに、
を正の向きに、
を負の向きに、
を負の向きの順で回って、元の点に戻るポッホハマーの積分路(英語版)を取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。
![{\displaystyle \left(1-e^{2\pi ix}\right)\left(1-e^{2\pi iy}\right)\mathrm {B} (x,\,y)=\int _{C}\zeta ^{x-1}(1-\zeta )^{y-1}\,{\rm {d}}\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618b1a301af16f49a7a9cfc9a627f0d852b376e8)
ガンマ関数との関係
ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d58f5595960e30c47464d69e6ad4751a3886179)
級数表示
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{\underline {n+1}}}{n!(x+n)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de7fcc4ab8c4963d2a95ae1f36fd940f6e97770)
ただし、
は下降階乗冪:
![{\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6034092e286173e5c075dd6b61a7da6d7073fdc)
である。
無限乗積表示
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {x+y}{xy}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6df29c1daae69c81adfc3aaccd83090055dae3)
評価
スターリングの公式より、複素数
、
の実部が十分大きな正の値であるとき、
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}\,y^{y-1/2}}{(x+y)^{x+y-1/2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb8534ac06120414c26bf46e81f34f66add1e56)
一方、
が十分大きく
が固定されているとき、
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\sim \mathrm {\Gamma } (y)\,x^{-y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247f12bcd311d6c8578f0aad40b39d6b75be178e)
特殊値
複素数
に対して、以下が成り立つ。
![{\displaystyle \mathrm {B} (1,\,x)={\frac {1}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faac3187681fd78ad7075b8c40f34df98aaa2e9e)
![{\displaystyle \mathrm {B} (x,\,1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\qquad (x\notin \mathbb {Z} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1800c4a1686b895bd8d4faf53c582c9b64396763)
![{\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,x\right)={\frac {2^{2x-1}\{\Gamma (x)\}^{2}}{\Gamma (2x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b05fcc9614e60c4d7e276a887c627c5dbc8e61)
特に、
非負の整数
、
に対して、以下が成り立つ。
![{\displaystyle \mathrm {B} (l+1,\,m+1)={\frac {l!\,m!}{(l+m+1)!}}={\frac {1}{(l+m+1){\dbinom {l+m}{m}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc86eb1e5974efdc70a0ef2e0522b8a9c4c543a)
![{\displaystyle \mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+1\right)={\frac {2^{2m+1}\,(2l)!\,m!\,(l+m)!}{l!\,(2l+2m+1)!}}={\frac {2\,(2l-1)!!\,(2m)!!}{(2l+2m+1)!!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e48e114c6ca8cbcdcf36fd8ab0d2c83a4f9d75)
![{\displaystyle \mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi \,(2l)!\,(2m)!}{2^{2l+2m}\,l!\,m!\,(l+m)!}}={\frac {\pi \,(2l-1)!!\,(2m-1)!!}{(2l+2m)!!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b071ef729148edd3a5a8b113abb9c6c7aa8be7)
参考文献
- E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.
関連項目
外部リンク
- 『ベータ関数の積分公式』 - 高校数学の美しい物語
- 『ベータ関数』 - コトバンク
- ベータ関数とは? ~ 性質と公式 ~ - 数理アラカルト
- ベータ関数とは~定義と性質8つとその証明~ - 数学の景色
- ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色
- Weisstein, Eric W. "Beta Function". mathworld.wolfram.com (英語).
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積分法 | |
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計算法 | - 部分積分
- 置換積分
- 逆函数の積分(英語版)
- 積分の順序(英語版)
- 三角函数置換(英語版)
- 部分分数分解を通じた積分(英語版)
- 漸化式による積分
- 媒介変数微分を用いた積分(英語版)
- オイラーの公式を用いた積分(英語版)
- 積分記号下の微分(英語版)
- 複素線積分
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確率積分 | - 伊藤積分(英語版)
- ストラトノヴィッチ積分(英語版)
- スコロホッド積分(英語版)
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数値積分 | |
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積分方程式 | |
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典拠管理データベース: 国立図書館 ![ウィキデータを編集](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) | |
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