力学的エネルギー

力学的エネルギー（りきがくてきエネルギー、英: mechanical energy）とは、運動エネルギーと位置エネルギー（ポテンシャル）の和のことを指す^[1]。

保存力の場での質点の運動では力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和）が一定となる。これを、力学的エネルギー保存の法則（力学的エネルギー保存則）と言う^[2]。

これを式で書くと次のようになる。ただし、運動エネルギーを K、ポテンシャルを U、力学的エネルギーを E とする。

$K+U=E$

一般にこれが保存するとき(即ち、保存力のみが仕事をし、非保存力が仕事をしないとき)によく使われる概念である。エネルギーが保存する場合、エネルギーの総和は初期条件で決まる。運動エネルギー K は、

$K={\frac {1}{2}}mv^{2}>0$

なので、

$U=E-K<E$

となり、ポテンシャルの範囲が決まってしまう。ポテンシャルは位置に依存する量なので、これは運動の領域が決まることになる。ポテンシャルの概形が分かれば運動の様子がある程度推測できる。例えば、調和振動のポテンシャルは、

${\frac {1}{2}}k({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0})^{2}$

である。 (x₀ は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x² の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。

$U=A(1-\mathrm {cos} \,\theta )=A\left({\frac {\theta ^{2}}{2}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+\cdots \right)$

十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。

力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー（摩擦などを通してやりとりされる）や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している（→エネルギー保存の法則）。

力学的エネルギーの散逸

保存力でない力を非保存力という。非保存力が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存しない。具体的な非保存力の例は、

動摩擦力: $-\mu {\hat {\boldsymbol {v}}}$
粘性抵抗力: $-\gamma {\boldsymbol {v}}=-\gamma v{\hat {\boldsymbol {v}}}$
慣性抵抗力: $-\beta v{\boldsymbol {v}}=-\beta v^{2}{\hat {\boldsymbol {v}}}$

ただし、 $v=\left|{\boldsymbol {v}}\right|$ 、 ${\hat {\boldsymbol {v}}}={\boldsymbol {v}}/v$ である。

一般に非保存力fは $(f(v)>0)$ として、

{\boldsymbol {f}}=-f(v)\,{\hat {\boldsymbol {v}}}

と表される。

運動方程式: $m{\dot {\boldsymbol {v}}}=-\nabla U+{\boldsymbol {f}}$

である。この式の両辺に速度をかけると、

${\begin{aligned}m{\dot {\boldsymbol {v}}}\cdot {\boldsymbol {v}}&=-(\nabla U)\cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)&=-{\frac {dU}{dt}}-f(v)v\\{\frac {d}{dt}}E&=-f(v)v\end{aligned}}$