Q超幾何級数

数学において、q超幾何級数（qちょうきかきゅうすう、英: q-hypergeometric series, basic hypergeometric series）は、超幾何級数のq類似である。q超幾何級数は

r ϕ s [ a 1 , a 2 , … , a r b 1 , b 2 , … , b s ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 , a 2 , … , a r ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b s , q ; q ) n ( ( − 1 ) n q ( n 2 ) ) s + 1 − r z n r ψ s [ a 1 , a 2 , … , a r b 1 , b 2 , … , b s ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 , a 2 , … , a r ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b s ; q ) n ( ( − 1 ) n q ( n 2 ) ) s − r z n {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}\right)^{s+1-r}z^{n}\\{}_{r}\psi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}\right)^{s-r}z^{n}\\\end{aligned}}}

の形式で表される級数である[1]。中でも

r ϕ r − 1 [ a 1 , a 2 , … , a r b 1 , b 2 , … , b r − 1 ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 , a 2 , … , a r ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b r − 1 , q ; q ) n z n r ψ r [ a 1 , a 2 , ⋯ , a r b 1 , b 2 , ⋯ , b r ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 , a 2 , … , a r ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b r ; q ) n z n {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{r}\phi _{r-1}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{r-1}\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{r-1},q;q)_{n}}}z^{n}\\{}_{r}\psi _{r}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsb ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsb ,b_{r}\end{matrix}};q,z\right]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{r};q)_{n}}}z^{n}\\\end{aligned}}}

が多く研究されている。但し、

( a 1 , a 2 , … , a r ; q ) n = ( a 1 ; q ) n ( a 2 ; q ) n ⋯ ( a r ; q ) n {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\dotsm (a_{r};q)_{n}}

であり、ここで

( a ; q ) n = { ∏ 0 ≤ k < n ( 1 − a q k ) ( n > 0 ) 1 ( n = 0 ) ∏ n ≤ k < 0 ( 1 − a q k ) − 1 ( n < 0 ) {\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}\prod _{0\leq k<n}(1-aq^{k})&(n>0)\\1&(n=0)\\\prod _{n\leq k<0}(1-aq^{k})^{-1}&(n<0)\end{cases}}}

はqポッホハマー記号である。なお、厳密にいうと、右辺の級数がq超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義されるq超幾何関数を表すものである。

関連記事

出典

  1. ^ Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function

参考文献

  • 堀田良之・渡辺敬一・庄司俊明・三町勝久: 群論の進化, 代数学百科, I, 朝倉書店, 2004 年, ISBN 4-254-11099-5
  • Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. en:Cambridge university press.
  • Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (1999). Special functions. en:Cambridge university press.
  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴
等差数列
発散級数
Fibonacci spiral with square sizes up to 34.
等比数列
収束級数
  • 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
  • 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
  • 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
発散級数
整数列
その他の数列
発散級数
収束級数
数列の加速法
カテゴリ カテゴリ:級数・カテゴリ:数列
  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴
Precalculus
極限
微分法
積分法
ベクトル解析
多変数微分積分学
級数
特殊関数と数学定数
歴史（英語版）
一覧
カテゴリ カテゴリ