Fraktal

Fraktal ialah "bentuk geometri yang kasar atau terserpih" (terbitan kata Latin fractus "pecah" atau "merekah") yang boleh dipecah-pecahkan kepada bahagian tersendiri yang tampak serupa diri pada skala lebih kecil^[1] apabila diperhatikan lebih teliti dan dekat secara berlanjutan, tiap kali peringkat kecil baru terwujud dari bahagian pecahan sebelumnya.^[2]

Disiplin matematik yang rapi terhadap fraktal berasal dari kajian Karl Weierstrass, Georg Cantor dan Felix Hausdorff terhadap fungsi-fungsi yang analitik tetapi tidak boleh dibezakan. Bagaimanapun, kefahaman ini mula-mula disempurnakan Benoît Mandelbrot pada tahun 1975 yang memperkenalkan set yang direkanya.^[1]^[3]^[4]^[5]

Gambaran umum

Satu fraktal matematik adalah berasaskan satu persamaan yang melalui lelaran, satu bentuk maklum balas berdasarkan rekursi.^[6] Fraktal sering mempunyai sifat-sifat berikut:^[3]

Ia mempunyai struktur yang halus pada skala kecil yang arbitrari
Ia terlalu ganjil untuk diterangkan dalam bahasa geometri Euclid tradisional.
Ia adalah serupa diri (sekurang-kurangnya secara skotastik)
Ia memiliki dimensi Hausdorff yang lebih besar dari dimensi topologinya (walaupun syarat ini tidak dipenuhi dengan lengkung pemenuhan ruang seperti dimensi Hillbert .^[7]
Ia memiliki pentakrifan yang rekursif dan ringkas.

Disebabkan ia sering muncul sama pada setiap paras pembesaran, fraktal sering dianggap teramat kompleks (dalam istilah tidak formal). Objek asli yang diringkaskan dengan fraktal sehingga pada satu tahap adalah seperti awan, banjaran gunung, panahan kilat, pesisir pantai, emping salji, sayuran dan corak pewarnaan binatang. Bagaimanapun, tidak semua objek serupa diri adalah fraktal— contohnya garis nyata yang secara rasminya adalah serupa diri tetapi gagal memiliki sebarang sifat fraktal; contohnya, ia terlalu biasa sehingga dapat diterangkan dengan mudah dalam istilah Euclid.

Imej fraktal boleh dibuat menggunakan perisian menjana fraktal. Imej yang dihasilkan perisian sebegini biasanya dirujuk sebagai fraktal walaupun jika sesetengahnya tidak memiliki sifat fraktal seperti di atas.

Rujukan

^ ^a ^b Mandelbrot, B.B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1186-9.
^ Ng Yu Nie; Fatimah Abdul Razak (19 Oktober 2022). "Matematik Di Sebalik Corak Lantai Gereja". Majalah Sains. Dicapai pada 18 November 2022.
^ ^a ^b Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
^ Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. London: Thames and Hudson. m/s. 148. ISBN 978-0-500-27693-8.
^ Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. m/s. 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.
^ Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. London : Thames and Hudson, 1992. m/s. 148. ISBN 0500276935, 0500276935 Check |isbn= value: invalid character (bantuan). Cite has empty unknown parameter: |coauthors= (bantuan)
^ Peta lengkung Hilbert bukanlah satu homeomorfisma, jadi ia tidak memelihara dimensi topologi. Dimensi topologi dan dimensi Hausdorff untuk imej peta Hillbert dalam R adalah 2. Bagaimanapun, dimensi topologi untuk graf peta Hilbert (satu set dalam R³) ialah 1.