Gęstość Sznirelmana

Gęstość Sznirelmana – pojęcie addytywnej teorii liczb wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Lwa Sznirelmana. Jest zdefiniowana dla podzbiorów zbioru liczb naturalnych jako:

${\displaystyle \sigma A=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}},}$

gdzie A(n) to liczba elementów zbioru A nieprzekraczających n, inf to infimum.

Własności

• Każdy zbiór ma gęstość Sznirelmana (w odróżnieniu od gęstości naturalnej).
• ${\displaystyle \sigma A>0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle d_{*}(A)>0}$ i ${\displaystyle 1\in A,}$ gdzie ${\displaystyle d_{*}(A)}$ oznacza dolną gęstość naturalną.
• ${\displaystyle \sigma A=1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle A}$ zawiera wszystkie liczby naturalne.
• Jeżeli ${\displaystyle 1\in A}$ i ${\displaystyle 0\in B,}$ to

${\displaystyle \sigma (A+B)\geqslant \sigma A+\sigma B-\sigma A\sigma B,}$

gdzie ${\displaystyle A+B}$ oznacza sumę algebraiczną zbiorów.

Baza addytywna i twierdzenia udowodnione przy użyciu gęstości Sznirelmana

Baza addytywna jest definiowana jako zbiór ${\displaystyle A}$ taki, że dla pewnego ${\displaystyle k}$ zachodzi ${\displaystyle kA=\mathbb {N} .}$

• Jeśli zbiór ${\displaystyle A}$ zawiera 0 i ma dodatnią gęstość Sznirelmana, to jest bazą addytywną.
• każda liczba naturalna (większa od jedności) może być zapisana w postaci sumy co najwyżej 20 liczb pierwszych.
• Dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle k}$ istnieje liczba ${\displaystyle n_{k}}$ taka, że każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle k}$-tych potęg liczb naturalnych (Problem Waringa).

Bibliografia

• Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.