Kryterium Sylvestera – kryterium pozwalające badać dodatnią (lub ujemną) określoność symetrycznej macierzy. Nazwa pochodzi od brytyjskiego matematyka J. J. Sylvestera.
Kryterium Sylvestera
Niech
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e48b3be6caca9531ebe632b139cad0c3fd0e8d)
będzie macierzą symetryczną o współczynnikach rzeczywistych.
Niech ponadto
![{\displaystyle M_{l}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1l}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2l}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{l1}&a_{l2}&\dots &a_{ll}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c196241388b31711ff33ac8a1a99c1d010f404f)
Wówczas
jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wiodące minory główne są dodatnie, tj.
![{\displaystyle M_{1}>0,\quad M_{2}>0,...\quad M_{n}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b7755fede2de61f3f754c46462e44cf9c4a525)
- czyli
dla ![{\displaystyle l\in \{1,\dots ,n\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711ef5d31a626fc8265818b5e71608fff8ec999f)
jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle M_{1}<0,\quad M_{2}>0,\quad M_{3}<0,\quad M_{4}>0,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176a28ad4ecb8c0bab9efcc52bf6a7f978725e57)
- czyli
dla
(dla nieparzystych),
dla
(dla parzystych),
Reguła mnemotechniczna:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}+&&&\\&+&&\\&&+&\\&&&\ddots \end{bmatrix}}\Rightarrow A{\text{ -- dodatnio określona}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea69107d2713b894ba5a47863bad239bda30b95)
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-&&&\\&+&&\\&&-&\\&&&\ddots \end{bmatrix}}\Rightarrow A{\text{ -- ujemnie określona}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0699f64fae886c7adce61c3a56ae7e424f900d0a)
gdzie na przekątnej zaznaczono znaki minorów głównych (,,narożnikowych”)
Jeśli macierz
traktować jako macierz formy kwadratowej
![{\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=1}^{n}a_{jk}x_{j}x_{k},\;a_{jk}=a_{kj},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280a556da19eb874a7ee0637f11384e67a03d6ad)
to forma ta jest dodatnio (ujemnie) określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest dodatnio (ujemnie) określona.
Bibliografia
- Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975. Brak numerów stron w książce
Algebra liniowa
- Wektor
- Przestrzeń liniowa
- Macierz
Wektory i działania na nich | |
---|
Układy wektorów i ich macierze | |
---|
Wyznaczniki i miara układu wektorów | |
---|
Przestrzenie liniowe | |
---|
Odwzorowania liniowe i ich macierze | |
---|
Diagonalizacja | |
---|
Iloczyny skalarne | |
---|
Pojęcia zaawansowane | |
---|
Pozostałe pojęcia | |
---|
Powiązane dyscypliny | |
---|
Znani uczeni | |
---|