Liczby dualne

Liczby dualne – wyrażenia postaci ${\displaystyle z=a+b\varepsilon ,}$ gdzie ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ oraz ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ (${\displaystyle \varepsilon }$ jest nilpotentem).

Konstrukcja

Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj. ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ z następującymi dwoma działaniami:

${\displaystyle (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),}$

${\displaystyle (a,b)\otimes (c,d)=(ac,ad+bc).}$

Para ${\displaystyle (1,0)}$ jest elementem neutralnym mnożenia ${\displaystyle \otimes }$ oraz ${\displaystyle (0,1)^{2}=(0,0).}$

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera^[a]. Dzielniki zera mają tutaj postać ${\displaystyle (0,b),\quad b\neq 0,}$   bowiem

${\displaystyle (0,b)\otimes (0,b)=(0,0).}$

Ponieważ ${\displaystyle (1,0)}$ i ${\displaystyle (0,1)}$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

${\displaystyle (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\varepsilon }$ gdzie ${\displaystyle \varepsilon =(0,1).}$

Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj. ${\displaystyle c+d\varepsilon ,\quad c\neq 0}$ istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych – ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:

${\displaystyle (c+d\varepsilon )^{-1}={\frac {1}{c+d\varepsilon }}={\frac {c-d\varepsilon }{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+0}}={\frac {1}{c}}-{\frac {d}{c^{2}}}\varepsilon .}$

Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:

${\displaystyle a+b\varepsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}.}$

w szczególności

${\displaystyle \varepsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Różniczkowanie

Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych ${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\ldots +p_{n}x^{n},}$ można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że ${\displaystyle P(a+b\varepsilon )=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,}$ gdzie ${\displaystyle P'}$ jest pochodną ${\displaystyle P.}$

Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych:

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf'(a)\varepsilon .}$

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• liczby podwójne
• liczby zespolone

Uwagi

Linki zewnętrzne

• Double and dual numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].