Obserwowalność

Obserwowalność – własność układu sterowania mówiąca, czy na podstawie odczytu sygnału sterującego oraz odczytu sygnału wyjściowego możliwe jest określenie wewnętrznego stanu obiektu. Znajomość tego stanu jest ważna na przykład w przypadku stosowania algorytmu estymacji minimalnokwadratowej.

Obserwowalność odnosi się do możliwości przeprowadzenia obserwacji (mierząc wielkości na wyjściach układu). Jeśli stan układu nie jest obserwowalny, to regulator nigdy nie będzie w stanie określić zachowania takiego stanu i dlatego nie można go wykorzystać do stabilizacji układu. Jednakże podobnie jak w przypadku warunków stabilizowalności (dla sterowalności), jeśli stan wewnętrzny nie jest obserwowalny, to jednak może być wykrywalny.

Jeśli układ jest obserwowalny to jest i wykrywalny. Dla układu wykrywalnego możliwe jest skonstruowanie obserwatora Luenbergera.

Definicja 1

Układ jest obserwowalny, jeżeli przy dowolnym sterowaniu można określić wartości wszystkich zmiennych stanu w chwili ${\displaystyle t_{0}}$ na podstawie znajomości sterowania ${\displaystyle u(t_{0},t)}$ i odpowiedzi ${\displaystyle y(t_{0},t).}$

Definicja 2

Stan początkowy ${\displaystyle x_{0}\in R^{n}}$ liniowego, dyskretnego układu regulacji nazywany jest obserwowalnym w ${\displaystyle q}$ krokach, jeżeli na podstawie danego ciągu wymuszeń ${\displaystyle \{u_{0},u_{1},\dots ,u_{q-1}\}}$ i danego ciągu odpowiedzi ${\displaystyle \{y_{0},y_{1},\dots ,y_{q-1}\}}$ można wyznaczyć jednoznacznie stan początkowy ${\displaystyle x_{0}}$ tego układu.

Liniowy, dyskretny układ regulacji nazywany jest obserwowalnym, jeżeli istnieje liczba naturalna ${\displaystyle q,}$ taka że na podstawie danego ciągu wymuszeń ${\displaystyle \{u_{0},u_{1},\dots ,u_{q-1}\}}$ i danego ciągu odpowiedzi ${\displaystyle \{y_{0},y_{1},\dots ,y_{q-1}\}}$ można wyznaczyć jednoznacznie każdy stan początkowy ${\displaystyle x_{0}\in R^{n}}$ tego układu.

Definicja 3

Układ jest obserwowalny jeśli każdy stan układu jest odróżnialny od stanu ${\displaystyle 0.}$

${\displaystyle \exists t}$ ${\displaystyle Ce^{At}x\neq 0.}$

Aby określić czy układ jest obserwowalny należy wyznaczyć macierz Kalmana postaci

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}},}$

a następnie sprawdzić czy jej rząd jest pełny, tzn. czy

${\displaystyle rank({\mathcal {O}})=n,}$

gdzie ${\displaystyle n}$ to wymiar macierzy stanu ${\displaystyle A.}$

Obserwowalność można także stwierdzić po sprawdzeniu sterowalności układu dualnego^[1].

Zobacz też

• dekompozycja Kalmana
• obserwator stanu
• odtwarzalność
• stabilizowalność
• sterowalność
• wykrywalność

Przypisy