Przestrzeń jednorodna

Przestrzeń jednorodna – dla danej grupy ${\displaystyle G}$ niepusta rozmaitość lub przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ na której ${\displaystyle G}$ działa przechodnio poprzez symetrie w sposób ciągły. Szczególnym przypadkiem jest, gdy rozważana grupa topologiczna ${\displaystyle G}$ jest grupą homeomorfizmów przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Wówczas ${\displaystyle X}$ jest jednorodna, jeżeli intuicyjnie ${\displaystyle X}$ „wygląda wszędzie tak samo”^[1]. Niektórzy autorzy nalegają, by działanie ${\displaystyle G}$ było efektywne (tzn. wierne), choć w artykule nie zakłada się tego. Istnieje zatem działanie grupy ${\displaystyle G}$ na ${\displaystyle X,}$ o którym można myśleć, że zachowuje pewną „strukturę geometryczną” na ${\displaystyle X,}$ czyniąc z ${\displaystyle X}$ pojedynczą G-orbitę.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie niepustym zbiorem, a ${\displaystyle G}$ będzie grupą. Parę ${\displaystyle (X,G)}$ nazywa się ${\displaystyle G}$-przestrzenią, jeżeli ${\displaystyle G}$ działa na ${\displaystyle X}$^[a]. Zauważmy, że ${\displaystyle G}$ musi działać na zbiorze poprzez automorfizmy (bijekcje). Jeżeli ${\displaystyle X}$ należy do tej pewnej kategorii, to przyjmuje się, że elementy ${\displaystyle G}$ działają jako automorfizmy w tej kategorii. Stąd odwzorowania na ${\displaystyle X}$ wyznaczane przez ${\displaystyle G}$ zachowują strukturę przestrzeni. Przestrzeń jednorodna to ${\displaystyle G}$-przestrzeń, na której ${\displaystyle G}$ działa przechodnio.

Zwięźle, jeśli ${\displaystyle X}$ jest obiektem kategorii ${\displaystyle \mathbf {C} ,}$ to strukturą ${\displaystyle G}$-przestrzeni jest homomorfizm

${\displaystyle \varrho \colon G\to \operatorname {Aut} _{\mathbf {C} }(X)}$

w grupę automorfizmów obiektu ${\displaystyle X}$ kategorii ${\displaystyle \mathbf {C} .}$ Para ${\displaystyle (X,\varrho )}$ definiuje przestrzeń jednorodną, gdzie ${\displaystyle \varrho (G)}$ jest przechodnią grupą symetrii na zbiorze ${\displaystyle X.}$

Przykłady

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią topologiczną, to o elementach grupy zakłada się, iż działają na ${\displaystyle X}$ jako homeomorfizmy. Strukturą ${\displaystyle G}$-przestrzeni jest homomorfizm grup ${\displaystyle \varrho \colon G\to \operatorname {Homeo} (X)}$ w grupę homeomorfizmów ${\displaystyle X.}$

Podobnie, jeżeli ${\displaystyle X}$ jest rozmaitością różniczkową, to elementami grupy są dyfeomorfizmy. Strukturą ${\displaystyle G}$-przestrzeni jest homomorfizm grup ${\displaystyle \varrho \colon G\to \operatorname {Diff} (X)}$ w grupę dyfeomorfizmów ${\displaystyle X.}$

Geometria

W duchu programu erlangeńskiego, geometria ${\displaystyle X}$ może być rozumiana jako geometria, w której „wszystkie punkty są takie same”. Jest to prawdą dla właściwie wszystkich geometrii przedstawionych przed geometrią riemmanowską z połowy XIX wieku.

W ten sposób przestrzenie euklidesowe, przestrzenie afiniczne i przestrzenie rzutowe są naturalnymi przykładami przestrzeni jednorodnych względem odpowiednich grup symetrii. Tak samo ma się rzecz z modelami geometrii nieeuklidesowych o stałej krzywiźnie, np. przestrzeń hiperboliczna.

Kolejnym klasycznym przykładem jest podprzestrzeń prostych trójwymiarowej przestrzeni rzutowej (równoważnie: podprzestrzeń dwuwymiarowych podprzestrzeni czterowymiarowej przestrzeni liniowej). Metodami algebry liniowej pokazuje się, że pełna grupa liniowa ${\displaystyle \operatorname {GL} (4,\mathbb {R} )}$ działa na niej przechodnio. Wspomniane proste można sparametryzować współrzędnymi liniowymi: są to minory typu 2×2 macierzy typu 2×4 o kolumnach zawierających dwa wektory bazowe podprzestreni. Geometrią otrzymanej przestrzeni jednorodnej jest geometria liniowa Juliusa Plückera.

Przestrzenie jednorodne jako przestrzenie warstw

Ogólnie, jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią jednorodną, a ${\displaystyle H_{o}}$ jest stabilizatorem pewnego ustalonego punktu ${\displaystyle o\in X}$ (wybór początku), to punkty ${\displaystyle X}$ odpowiadają warstwom lewostronnym ${\displaystyle G/H_{o}.}$

W ogólności różne wybory początku ${\displaystyle o}$ będą dawać iloraz ${\displaystyle G}$ przez inną podgrupę ${\displaystyle H_{o'},}$ która związana jest z ${\displaystyle H_{o}}$ przez automorfizm wewnętrzny ${\displaystyle G.}$ Dokładniej,

${\displaystyle H_{o'}=gH_{o}g^{-1},}$

(1)

gdzie ${\displaystyle g}$ jest dowolnym elementem ${\displaystyle G,}$ dla którego ${\displaystyle go=o'.}$ Zauważmy, że automorfizm wewnętrzny (1) nie zależy od wybory ${\displaystyle g,}$ lecz tylko od ${\displaystyle g}$ modulo ${\displaystyle H_{o}.}$

Jeżeli działanie ${\displaystyle G}$ na ${\displaystyle X}$ jest ciągłe, to ${\displaystyle H}$ jest domkniętą podgrupą ${\displaystyle G}$ W szczególności, jeśli ${\displaystyle G}$ jest grupą Liego, to ${\displaystyle H}$ jest domkniętą podgrupą Liego na mocy twierdzenia Cartana. Stąd ${\displaystyle G/H}$ jest rozmaitością gładką, a więc ${\displaystyle X}$ jest wyposażona w wyznaczoną jednoznacznie strukturę gładką zgodną z działaniem grupy.

Jeżeli ${\displaystyle H}$ jest podgrupą trywialną ${\displaystyle \{e\},}$ to ${\displaystyle X}$ jest główną przestrzenią jednorodną.

Przykład

W przypadku geometrii liniowej można na przykład utożsamiać ${\displaystyle H}$ z 12-wymiarową podgrupą 16-wymiarowej pełnej grupy liniowej ${\displaystyle \operatorname {GL} _{4}}$ zdefiniowanej poprzez następujące warunki na elementy macierzy

${\displaystyle h_{13}=h_{14}=h_{23}=h_{24}=0,}$

szukając stablizatora podprzestrzeni rozpinanej przez dwa pierwsze wektory bazy standardowej. Dowodzi to, że ${\displaystyle X}$ jest wymiaru 4.

Ponieważ istnieje 6 wyznaczonych przez minory współrzędnych jednorodnych, to oznacza to, że nie są one od siebie niezależne. Istotnie, między wspomnianymi sześcioma minorami zachodzi zależność kwadratowa znana już XIX-wiecznym geometrom.

Przykład ten był pierwszym znanym przykładem grasmannianu innego niż przestrzeń rzutowa. Istnieje wiele innych przestrzeni jednorodnych klasycznych grup liniowych powszechnie stosowanych w matematyce.

Prejednorodne przestrzenie liniowe

Idea prejednorodnej przestrzeni liniowej (ang. prehomogeneous vector space) została przedstawiona przez Mikio Sato.

Jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa ${\displaystyle V}$ z działaniem grupy algebraicznej ${\displaystyle G}$ takiej, że istnieje orbita ${\displaystyle G,}$ która jest otwarta w topologii Zariskiego (w konsekwencji: gęsta). Przykładem może być ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$ działająca na przestrzeni jednowymiarowej.

Definicja jest bardziej ograniczająca, niż się wydaje na początku: takie przestrzenie mają niezwykłe własności; istnieje także klasyfikacja nierozkładalnych prejednorodnych przestrzeni liniowych co do przekształcenia znanego jako „roszowanie” (ang. castling).

Zastosowania w fizyce

Kosmologia wykorzystująca ogólną teorię względności korzysta z systemu klasyfikacji Bianchiego. Przestrzenie jednorodne reprezentują część przestrzenną przestrzeni metrycznych pewnych modeli kosmologicznych; np. trzy przypadki metryki Friedmanna-Lemaître’a-Robertsona-Walkera mogą być reprezentowane przez podzbiory Bianchiego typu I (płaskiego), V (otwartego), VII (płaskiego lub otwartego) i IX (domkniętego), podczas gdy uniwersum Mixmaster reprezentuje anizotropowy przykład kosmologii Bianchiego IX.^[2]

Przestrzeń jednorodna wymiaru ${\displaystyle N}$ określa ${\displaystyle N(N-1)/2}$ wektorów Killinga^[3]. W przypadku trójwymiarowym daje to całkowitą liczbę sześciu liniowo niezależnych pól wektorowych Killinga; trójwymiarowe przestrzenie jednorodne mają tę własność, iż do znalezienia trzech nieznikających pól wektorowych

${\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}$

gdzie obiekt ${\displaystyle C_{\ bc}^{a},}$ tzw. „stała strukturalna”, jest stałym tensorem rangi 3 antysymetrycznym ze względu na dwa dolne wskaźniki (nawiasy kwadratowe po lewej oznaczają antysymetryzację, a średnik oznacza operator pochodnej kowariantnej),

można użyć kombinacji liniowych wspomnianych sześciu pól. W przypadku płaskiego uniwersum izotropowego, jedną możliwością jest ${\displaystyle C_{\ bc}^{a}=0}$ (typ I), ale w przypadku domkniętego uniwersum FLRW, ${\displaystyle C_{\ bc}^{a}=\varepsilon _{\ bc}^{a},}$ gdzie ${\displaystyle \varepsilon _{\ bc}^{a}}$ jest symbolem Leviego-Civity.

Zobacz też

• geometria Kleina
• program erlangeński

Uwagi

Przypisy