Rzut (algebra liniowa)

Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „rzut ortogonalny”. Zobacz też: rzut prostokątny w geometrii elementarnej.

Rzut lub projekcja[a] – uogólnienie pojęcia rzutu znanego z geometrii elementarnej: idempotentny endomorfizm liniowy określony na danej przestrzeni liniowej, czyli operator liniowy zachowujący swój obraz, tzn. dla którego każdy element obrazu jest punktem stałym tego przekształcenia.

Rzuty/projekcje ortogonalne są uogólnieniem pojęcia rzutu prostokątnego z geometrii euklidesowej (zob. osobna sekcja); w przestrzeniach unitarnych (tzn. z iloczynem skalarnym, np. przestrzeniach euklidesowych) są to ni mniej, ni więcej operatory samosprzężone.

Rzut ukośny

Rzut T {\displaystyle \mathrm {T} } wzdłuż prostej k {\displaystyle k} na prostą m . {\displaystyle m.}

Niech dana będzie przestrzeń liniowa V {\displaystyle V} (nad ustalonym ciałem). Przekształcenie liniowe P : V → V {\displaystyle \mathrm {P} \colon V\to V} tej przestrzeni w siebie spełniające warunek idempotentności

P 2 = P , {\displaystyle \mathrm {P} ^{2}=\mathrm {P} ,}

czyli P ( P ( v ) ) = P ( v ) {\displaystyle \mathrm {P} {\big (}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big )}=\mathrm {P} (\mathbf {v} )} dla każdego v ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} nazywa się rzutem (ukośnym) lub projekcją.

Odwzorowanie P {\displaystyle \mathrm {P} } można scharakteryzować w następujący sposób: dowolny wektor v ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci sumy v = w + u , {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {w} +\mathbf {u} ,} gdzie w ∈ ker ⁡ P {\displaystyle \mathbf {w} \in \ker \mathrm {P} } oraz u ∈ i m P {\displaystyle \mathbf {u} \in \mathrm {im\;P} } [b]. Oznacza to, że V = ker ⁡ P ⊕ i m P , {\displaystyle V=\ker \mathrm {P} \oplus \mathrm {im\;P} ,} czyli V {\displaystyle V} jest sumą prostą jądra i obrazu P . {\displaystyle \mathrm {P} .} Jeżeli V {\displaystyle V} jest skończeniewymiarowa, zaś U {\displaystyle U} jest jej podprzestrzenią liniową, to na mocy twierdzenia o rzędzie istnieje rzut P , {\displaystyle \mathrm {P} ,} dla którego i m P = U {\displaystyle \mathrm {im\;P} =U} (jeśli 0 < dim ⁡ U < dim ⁡ V , {\displaystyle 0<\dim U<\dim V,} to rzutów określonych na V {\displaystyle V} o obrazie U {\displaystyle U} jest nieskończenie wiele).

Dla danych podprzestrzeni W , U {\displaystyle W,U} przestrzeni V {\displaystyle V} spełniających V = W ⊕ U {\displaystyle V=W\oplus U} przekształcenie P : V → V {\displaystyle \mathrm {P} \colon V\to V} nazywa się rzutem na U {\displaystyle U} wzdłuż W , {\displaystyle W,} jeśli dla każdego v ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} zachodzi

P ( v ) ∈ U {\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {v} )\in U} oraz v − P ( v ) ∈ W . {\displaystyle \mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )\in W.}

Jedynymi wartościami własnymi rzutu są zero i jedynka, tzn. widmo rzutu P {\displaystyle \mathrm {P} } jest równe σ ( P ) = { 0 , 1 } {\displaystyle \sigma (\mathrm {P} )=\{0,1\}} [c]; ponadto rzut jest diagonalizowalny i w szczególności (w ciele charakterystyki zerowej) jego ślad jest równy wymiarowi obrazu[d]. Z drugiej strony, jeśli przekształcenie A {\displaystyle \mathrm {A} } ma widmo σ ( A ) = { 0 , 1 } {\displaystyle \sigma (\mathrm {A} )=\{0,1\}} i jest diagonalizowalne, to A {\displaystyle \mathrm {A} } jest rzutem[e].

Jeśli P {\displaystyle \mathrm {P} } jest rzutem na U {\displaystyle U} wzdłuż W , {\displaystyle W,} to przekształcenie Q = I − P : V → V {\displaystyle \mathrm {Q} =\mathrm {I} -\mathrm {P} \colon V\to V} dane wzorem Q ( v ) = v − P ( v ) {\displaystyle \mathrm {Q} (\mathbf {v} )=\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )} jest rzutem na W {\displaystyle W} wzdłuż U {\displaystyle U} [f]. Tym samym rozkładowi V = U ⊕ W {\displaystyle V=U\oplus W} odpowiada para rzutów P , Q . {\displaystyle \mathrm {P} ,\mathrm {Q} .}

Rzut ortogonalny

Rzut ortogonalny P {\displaystyle \mathrm {P} } na prostą m . {\displaystyle m.}

Jeżeli P {\displaystyle \mathrm {P} } jest rzutem (ukośnym) na U {\displaystyle U} wzdłuż W {\displaystyle W} oraz V = W ⊥ U {\displaystyle V=W\perp U} jest ortogonalną sumą prostą, to P {\displaystyle \mathrm {P} } nazywa się rzutem ortogonalnym (na U {\displaystyle U} wzdłuż W {\displaystyle W} ). Wówczas W = U ⊥ {\displaystyle W=U^{\perp }} jest dopełnieniem ortogonalnym U , {\displaystyle U,} czyli zachodzi V = U ⊥ ⊕ U , {\displaystyle V=U^{\perp }\oplus U,} a więc V = ( i m P ) ⊥ ⊕ i m P , {\displaystyle V=(\mathrm {im\;P} )^{\perp }\oplus \mathrm {im\;P} ,} gdyż wtedy ker ⁡ P = ( i m P ) ⊥ , {\displaystyle \ker P=(\mathrm {im\;P} )^{\perp },} gdzie i m P {\displaystyle \mathrm {im\;P} } oraz ker ⁡ P {\displaystyle \ker \mathrm {P} } oznaczają odpowiednio obraz i jądro rzutu P . {\displaystyle \mathrm {P} .}

Konstrukcja ortogonalnej sumy prostej wymaga istnienia (niezdegenerowanej) symetrycznej formy dwuliniowej określonej na przestrzeni (tzw. przestrzeń ortogonalna): zwykle rozważa się przestrzenie z iloczynem skalarnym (tzw. przestrzenie unitarne); w przypadku przestrzeni nieskończonego wymiaru zakłada się dodatkowo zupełność, co sprawia, że przestrzeń unitarna V {\displaystyle V} staje się przestrzenią Hilberta – istnienie zapewnia wtedy twierdzenie o rzucie ortogonalnym. W tym kontekście rzut ukośny nazywa się operatorem idempotentnym, a rzut ortogonalny znany jest jako operator rzutowy.

Rzut jest ortogonalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest i) samosprzężony[g] lub ii) normalny lub iii) dodatni (dodatnio określony) lub iv) izometryczny. Rzuty ortogonalne są operatorami ograniczonymi (czyli ciągłymi), a gdy są nietrywialne: o jednostkowej normie operatorowej[h]; z drugiej strony ograniczony (równoważnie: ciągły) operator liniowy A {\displaystyle \mathrm {A} } na przestrzeni Hilberta jest rzutem ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy A ∗ A = A . {\displaystyle \mathrm {A} ^{*}\mathrm {A} =\mathrm {A} .}

Gdy rozważana przestrzeń jest zespolona, gwiazdkę przy oznaczeniu macierzy należy interpretować jako sprzężenie hermitowskie, w pozostałych przypadkach – jako transpozycję; w przypadku przekształceń gwiazdka oznacza (antyliniowe) przekształcenie sprzężone do danego.

Jeśli u 1 , … , u k {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}} jest bazą ortonormalną podprzestrzeni U {\displaystyle U} zaś A {\displaystyle \mathbf {A} } oznacza macierz typu n × k , {\displaystyle n\times k,} której kolumnami są u 1 , … , u k , {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k},} to macierz rzutu ortogonalnego dana jest wzorem

P A = A A ∗ {\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {A} }=\mathbf {AA} ^{*}}

i reprezentuje ona przekształcenie, które można zapisać jako[i]

P A ( ⋅ ) = ∑ i = 1 k u i ⟨ u i , ⋅ ⟩ . {\displaystyle \mathrm {P} _{\mathrm {A} }(\cdot )=\sum _{i=1}^{k}\mathbf {u} _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle .}

W szczególności rzut na prostą (przestrzeń jednowymiarową) rozpinaną przez wektor jednostkowy u {\displaystyle \mathbf {u} } dany jest wzorem P u ( ⋅ ) = u ⟨ u , ⋅ ⟩ , {\displaystyle \mathrm {P} _{\mathbf {u} }(\cdot )=\mathbf {u} \langle \mathbf {u} ,\cdot \rangle ,} a jego macierz ma postać P u = u u ∗ {\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {u} }=\mathbf {uu} ^{*}} [j].

Macierz A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}} reprezentuje izometrię częściową A ∗ , {\displaystyle \mathrm {A} ^{*},} która znika na dopełnieniu ortogonalnym podprzestrzeni U , {\displaystyle U,} zaś A {\displaystyle \mathrm {A} } jest izometrią, która zanurza U {\displaystyle U} w przestrzeń V . {\displaystyle V.}

Warunek ortonormalności można opuścić; jeżeli u 1 , … , u k {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}} jest bazą (niekoniecznie ortonormalną), a macierz A {\displaystyle \mathbf {A} } zawiera te wektory jako kolumny, to rzut ma postać[k]

P A = A ( A ∗ A ) − 1 A ∗ . {\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {A} }=\mathbf {A} (\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {A} ^{*}.}

Reprezentowane przez tę macierz przekształcenie nadal zanurza U {\displaystyle U} w przestrzeń V , {\displaystyle V,} jednak nie musi być już izometrią.

Przykłady

  • Przekształcenie liniowe, którego macierz ma postać [ 1 0 0 0 ] , {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right],} jest rzutem ortogonalnym, podczas gdy zadane macierzą [ 0 1 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]} jest rzutem (ukośnym), ale nie ortogonalnym (pierwsza macierz opisuje operator rzutowy, druga – tylko idempotentny).
  • Przestrzeń L 2 ( R ) {\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )} funkcji rzeczywistych całkowalnych z kwadratem (w sensie Lebesgue’a) jest ortogonalną sumą prostą przestrzeni M , N {\displaystyle M,N} funkcji parzystych i nieparzystych; rzuty P M , P N {\displaystyle \mathrm {P} _{M},\mathrm {P} _{N}} odpowiednio na M , N {\displaystyle M,N} dane są wzorami[l]
    P M f ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) 2  oraz  P N f ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) 2 , {\displaystyle \mathrm {P} _{M}f(x)={\tfrac {f(x)+f(-x)}{2}}\qquad {\text{ oraz }}\qquad \mathrm {P} _{N}f(x)={\tfrac {f(x)-f(-x)}{2}},}
przy czym I − P M = P N . {\displaystyle \mathrm {I} -\mathrm {P} _{M}=\mathrm {P} _{N}.}
  • Niech A {\displaystyle A} będzie zbiorem mierzalnym R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} np. przedziałem, z funkcją charakterystyczną χ A . {\displaystyle \chi _{A}.} Wówczas[l] P A f ( x ) = χ A ( x ) f ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} _{A}f(x)=\chi _{A}(x)f(x)} jest rzutem ortogonalnym L 2 ( R ) {\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )} na podprzestrzeń funkcji o nośniku zawartym w domknięciu A ¯ . {\displaystyle {\overline {A}}.}
  • Zamiast wspomnianej wcześniej przestrzeni Hilberta R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} z operatorem P u ( x ) = u u ∗ x {\displaystyle \mathrm {P} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=\mathbf {uu} ^{*}\mathbf {x} } można rozważać inne: w przypadku przestrzeni ciągów ℓ 2 ( Z ) , {\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} ),} gdy u = e n , {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {e} _{n},} gdzie e n = ( δ k , n ) k = − ∞ + ∞ {\displaystyle \mathbf {e} _{n}=\left(\delta _{k,n}\right)_{k=-\infty }^{+\infty }} [m], oraz x = ( x k ) , {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{k}),} to rzut przyjmuje postać P e n ( x ) = x n e n . {\displaystyle \mathrm {P} _{\mathbf {e} _{n}}(\mathbf {x} )=x_{n}\mathbf {e} _{n}.}
  • Jeśli z kolei dana jest przestrzeń L 2 ( T ) {\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {T} )} jest przestrzenią funkcji o okresie 2 π {\displaystyle 2\pi } [n], a u = 1 / 2 π {\displaystyle u=1/{\sqrt {2\pi }}} jest funkcją stałą o jednostkowej normie, to rzut ortogonalny P u {\displaystyle \mathrm {P} _{u}} przekształca funkcję f {\displaystyle f} w jej średnią ⟨ f ⟩ , {\displaystyle \langle f\rangle ,} gdzie
    ⟨ f ⟩ = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( x )   d x . {\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!\!f(x)\ \mathrm {d} x.}
Odpowiadający temu rzutowi rozkład ortogonalny, f ( x ) = ⟨ f ⟩ + f ′ ( x ) , {\displaystyle f(x)=\langle f\rangle +f'(x),} rozbija funkcję na stałą część średnią ⟨ f ⟩ {\displaystyle \langle f\rangle } i zmienną część f ′ {\displaystyle f'} o zerowej średniej.

Uwagi

  1. ↑ Etymologia w artykule projekcja.
  2. ↑ Wystarczy przyjąć u = P ( v ) {\displaystyle \mathbf {u} =\mathrm {P} (\mathbf {v} )} oraz w = v − u , {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {v} -\mathbf {u} ,} wtedy
    P ( w ) = P ( v − P ( v ) ) = P ( v ) − P 2 ( v ) = P ( v ) − P ( v ) = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (\mathbf {w} )&=\mathrm {P} {\big (}\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big )}=\mathrm {P} (\mathbf {v} )-\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {v} )\\&=\mathrm {P} (\mathbf {v} )-\mathrm {P} (\mathbf {v} )=\mathbf {0} .\end{aligned}}}
    Jedyność tego przedstawienia wynika z obserwacji działania P {\displaystyle \mathrm {P} } na v , {\displaystyle \mathbf {v} ,} mianowicie P ( v ) = P ( w + u ) = P ( w ) + P ( u ) = 0 + u = u . {\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {v} )=\mathrm {P} (\mathbf {w} +\mathbf {u} )=\mathrm {P} (\mathbf {w} )+\mathrm {P} (\mathbf {u} )=\mathbf {0} +\mathbf {u} =\mathbf {u} .}
  3. ↑ Niech v {\displaystyle \mathbf {v} } będzie wektorem własnym stowarzyszonym z wartością własną λ {\displaystyle \lambda } rzutu P . {\displaystyle \mathrm {P} .} Wówczas
    λ u = P ( u ) = P ( P ( u ) ) = P ( λ u ) = λ 2 u , {\displaystyle \lambda \mathbf {u} =\mathrm {P} (\mathbf {u} )=\mathrm {P} {\big (}\mathrm {P} (\mathbf {u} ){\big )}=\mathrm {P} (\lambda \mathbf {u} )=\lambda ^{2}\mathbf {u} ,}
    a ponieważ u ≠ 0 , {\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} ,} to λ = λ 2 , {\displaystyle \lambda =\lambda ^{2},} czyli λ ( λ − 1 ) = 0 , {\displaystyle \lambda (\lambda -1)=0,} skąd λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} lub λ = 1. {\displaystyle \lambda =1.}
  4. ↑ Niech u 1 , … , u k {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{k}} będą bazą U . {\displaystyle U.} Wówczas zakładając, że u i = P ( v i ) , {\displaystyle \mathbf {u} _{i}=\mathrm {P} (\mathbf {v} _{i}),} otrzymuje się P ( u i ) = P 2 ( v i ) = P ( v i ) = u i {\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {u} _{i})=\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {v} _{i})=\mathrm {P} (\mathbf {v} _{i})=\mathbf {u} _{i}} ( i = 1 , … , k ) , {\displaystyle (i=1,\dots ,k),} zatem dowolny niezerowy wektor w obrazie P {\displaystyle P} jest wektorem własnym z wartością własną λ = 1. {\displaystyle \lambda =1.} W ten sposób wymiar przestrzeni własnej P {\displaystyle \mathrm {P} } dla wartości własnej λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} jest niemniejszy niż rząd P . {\displaystyle \mathrm {P} .} Z twierdzenia o rzędzie wynika jednak, że dim ⁡ i m P + dim ⁡ ker ⁡ P = dim ⁡ V 1 ( P ) + dim ⁡ V 0 ( P ) = dim ⁡ V {\displaystyle \dim \mathrm {im\;P} +\dim \ker \mathrm {P} =\dim V_{1}(\mathrm {P} )+\dim V_{0}(\mathrm {P} )=\dim V} (gdyż ker ⁡ P = dim ⁡ V 0 ( P ) {\displaystyle \ker \mathrm {P} =\dim V_{0}(\mathrm {P} )} ) dlatego suma wymiarów dwóch podprzestrzeni jest równa wymiarowi całej przestrzeni V . {\displaystyle V.} Bazy obrazu i jądra tworzą razem bazę wektorów własnych V , {\displaystyle V,} tzn. V = i m P ⊕ ker ⁡ P , {\displaystyle V=\mathrm {im\;P} \oplus \ker \mathrm {P} ,} stąd P {\displaystyle \mathrm {P} } jest diagonalizowalny i wymiar przestrzeni własnej P {\displaystyle \mathrm {P} } dla wartości własnej λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} jest równy rzędowi P . {\displaystyle \mathrm {P} .} Ponieważ ślad jest sumą wartości własnych (w ciele charakterystyki 0), to r a n k P = dim ⁡ i m P = dim ⁡ V 1 ( P ) = t r P . {\displaystyle \mathrm {rank\;P} =\dim \mathrm {im\;P} =\dim V_{1}(\mathrm {P} )=\mathrm {tr\;P} .}
  5. ↑ Jeśli A = B D B − 1 , {\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {BDB} ^{-1},} gdzie D {\displaystyle \mathrm {D} } jest jednokładnością (tj. przekształceniem, którego macierz jest macierzą diagonalną) wyłącznie z wartościami własnymi równymi zeru lub jedynce (na przekątnej głównej), to
    A 2 = B D B − 1 B D B − 1 = B D 2 B − 1 = B D B − 1 = A , {\displaystyle \mathrm {A} ^{2}=\mathrm {BDB} ^{-1}\mathrm {BDB} ^{-1}=\mathrm {B} \mathrm {D} ^{2}\mathrm {B} ^{-1}=\mathrm {B} \mathrm {D} \mathrm {B} ^{-1}=\mathrm {A} ,}
    gdyż D 2 = D , {\displaystyle \mathrm {D} ^{2}=\mathrm {D} ,} zatem A 2 = A , {\displaystyle \mathrm {A} ^{2}=\mathrm {A} ,} a więc A {\displaystyle \mathrm {A} } jest idempotentne, czyli jest rzutem.
  6. ↑ Z bezpośredniego rachunku wynika, że
    Q 2 = ( I − P ) 2 = ( I − P ) ( I − P ) = I 2 − P I − I P + P 2 = I − 2 P + P = I − P = Q , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Q} ^{2}&=(\mathrm {I} -\mathrm {P} )^{2}=(\mathrm {I} -\mathrm {P} )(\mathrm {I} -\mathrm {P} )\\&=\mathrm {I} ^{2}-\mathrm {PI} -\mathrm {IP} +\mathrm {P} ^{2}\\&=\mathrm {I} -2\mathrm {P} +\mathrm {P} =\mathrm {I} -\mathrm {P} =\mathrm {Q} \end{aligned}},}
    czyli Q 2 = Q . {\displaystyle \mathrm {Q} ^{2}=\mathrm {Q} .}
  7. ↑ Wychodząc od samosprzężoności i idempotentności P {\displaystyle \mathrm {P} } oraz dowolnych wektorów u , v ∈ V {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V} otrzymuje się P ( u ) ∈ U , {\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {u} )\in U,} v − P ( v ) ∈ W {\displaystyle \mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )\in W} oraz
    ⟨ P ( u ) , v − P ( v ) ⟩ = ⟨ P 2 ( u ) , v − P ( v ) ⟩ = ⟨ P ( u ) , P ( I − P ) ( v ) ⟩ = ⟨ P ( u ) , ( P − P 2 ) ( v ) ⟩ = ⟨ P ( u ) , 0 ⟩ = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }\\&={\big \langle }\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {u} ),\mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }\\&={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathrm {P} (\mathrm {I} -\mathrm {P} )(\mathbf {v} ){\big \rangle }={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),(\mathrm {P} -\mathrm {P} ^{2})(\mathbf {v} ){\big \rangle }\\&={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathbf {0} {\big \rangle }=0\end{aligned}},}
    gdzie ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } oznacza iloczyn skalarny przestrzeni V , {\displaystyle V,} a I {\displaystyle \mathrm {I} } to operator tożsamościowy. Stąd P ( v ) {\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {v} )} oraz v − P ( v ) {\displaystyle \mathbf {v} -\mathrm {P} (\mathbf {v} )} są ortogonalne. W drugą stronę, z ortogonalności rzutu P {\displaystyle \mathrm {P} } wynika jego samosprzężoność, gdyż
    ⟨ u , P ( v ) ⟩ = ⟨ P ( u ) , v ⟩ = ⟨ u , P ∗ ( v ) ⟩ {\displaystyle {\big \langle }\mathbf {u} ,\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {u} ),\mathbf {v} {\big \rangle }={\big \langle }\mathbf {u} ,\mathrm {P} ^{*}(\mathbf {v} ){\big \rangle }}
    dla dowolnych u , v ∈ V ; {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V;} zatem istotnie P = P ∗ . {\displaystyle \mathrm {P} =\mathrm {P} ^{*}.}
  8. ↑ Dla dowolnego wektora v ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} z nierówności Cauchy’ego–Schwarza jest
    ‖ P ( v ) ‖ 2 = ⟨ P ( v ) , P ( v ) ⟩ = ⟨ P ( v ) , v ⟩ ⩽ ‖ P ( v ) ‖   ‖ v ‖ , {\displaystyle {\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|}^{2}={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {v} ),\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \rangle }={\big \langle }\mathrm {P} (\mathbf {v} ),\mathbf {v} {\big \rangle }\leqslant {\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|}\ \|\mathbf {v} \|,}
    czyli ‖ P ( v ) ‖ ⩽ ‖ v ‖ , {\displaystyle {\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|}\leqslant \|\mathbf {v} \|,} co oznacza, że P {\displaystyle \mathrm {P} } jest ograniczony, przy czym norma operatorowa ‖ P ‖ ⩽ 1. {\displaystyle \|\mathrm {P} \|\leqslant 1.} Jeśli P ≠ θ , {\displaystyle \mathrm {P} \neq \mathrm {\theta } ,} to istnieje v , {\displaystyle \mathbf {v} ,} dla którego P ( v ) ≠ 0 {\displaystyle \mathrm {P} (\mathbf {v} )\neq \mathbf {0} } oraz ‖ P 2 ( v ) ‖ = ‖ P ( v ) ‖ , {\displaystyle {\big \|}\mathrm {P} ^{2}(\mathbf {v} ){\big \|}={\big \|}\mathrm {P} (\mathbf {v} ){\big \|},} a więc ‖ P ‖ ⩾ 1. {\displaystyle \|\mathrm {P} \|\geqslant 1.} Dlatego ostatecznie ‖ P ‖ = 1. {\displaystyle \|\mathrm {P} \|=1.}
  9. ↑ W notacji Diraca jest P A = ∑ i = 1 k | u i ⟩ ⟨ u i | . {\displaystyle \mathrm {P} _{\mathrm {A} }=\sum _{i=1}^{k}|\mathbf {u} _{i}\rangle \langle \mathbf {u} _{i}|.}
  10. ↑ Wtedy P u ( x ) = u u ∗ x . {\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=\mathbf {uu} ^{*}\mathbf {x} .} W stosowanej głównie w fizyce notacji Diraca jest P u = | u ⟩ ⟨ u | ; {\displaystyle \mathrm {P} _{\mathbf {u} }=|\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {u} |;} wówczas P u ( x ) = | u ⟩   ⟨ u | x ⟩ . {\displaystyle \mathrm {P} _{\mathbf {u} }(\mathbf {x} )=|\mathbf {u} \rangle \ \langle \mathbf {u} |\mathbf {x} \rangle .} W matematyce zwykle zapisuje się P u = u ⊗ u {\displaystyle \mathrm {P} _{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} } za pomocą iloczynu tensorowego (a dokładnie: iloczynu diadycznego).
  11. ↑ Macierz ( A ∗ A ) − 1 {\displaystyle (\mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} )^{-1}} jest „czynnikiem normującym”, który odzyskuje normę: operator pierwszego rzędu u u ∗ {\displaystyle \mathbf {uu} ^{*}} jest rzutem, tylko gdy ‖ u ‖ = 1 ; {\displaystyle \|\mathbf {u} \|=1;} dzieląc przez u ∗ u = ‖ u ‖ 2 {\displaystyle \mathbf {u} ^{*}\mathbf {u} =\|\mathbf {u} \|^{2}} otrzymuje się rzut u ( u ∗ u ) − 1 u ∗ = u u ∗ / ‖ u ‖ 2 {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {u} ^{*}\mathbf {u} )^{-1}\mathbf {u} ^{*}=\mathbf {uu} ^{*}/\|\mathbf {u} \|^{2}} na podprzestrzeń s p a n u . {\displaystyle \mathrm {span\;} \mathbf {u} .}
  12. ↑ a b Oznaczenia P X f ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} _{X}f(x)} należy rozumieć jako ( P X ( f ) ) ( x ) , {\displaystyle {\big (}\mathrm {P} _{X}(f){\big )}(x),} gdzie P X ( f ) {\displaystyle \mathrm {P} _{X}(f)} jest operatorem, którego argumenty i wartości są funkcjami z przestrzeni L 2 ( R ) , {\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ),} tzn. P X : L 2 ( R ) → L 2 ( R ) {\displaystyle \mathrm {P} _{X}\colon \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )\to \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )} dla pewnej podprzestrzeni X {\displaystyle X} przestrzeni L 2 ( R ) . {\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} ).}
  13. ↑ Zob. delta Kroneckera δ k , n . {\displaystyle \delta _{k,n}.}
  14. ↑ Por. grupa okręgu T . {\displaystyle \mathbb {T} .}

Bibliografia

  • F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.
  • p
  • d
  • e
Wektory i działania na nich
Układy wektorów i ich macierze
Wyznaczniki i miara układu wektorów
Przestrzenie liniowe
Odwzorowania liniowe
i ich macierze
Diagonalizacja
Iloczyny skalarne
Pojęcia zaawansowane
Pozostałe pojęcia
Powiązane dyscypliny
Znani uczeni