Transformata z gwiazdką

Transformata z gwiazdką, transformata gwiazdkowana (ang. star transform, starred transform) – dyskretnoczasowa wersja transformaty Laplace’a reprezentująca idealny układ próbkujący z okresem ${\displaystyle T.}$

Transformata z gwiazdką podobna jest do transformaty Z ze zwykłą zamianą zmiennych, ale transformata z gwiazdką w sposób jawny identyfikuje każdą próbkę w wyrażeniach okresu próbkowania ${\displaystyle T,}$ podczas gdy transformata Z odnosi się tylko do każdej próbki poprzez wartość indeksu liczb całkowitych.

Nazwa transformata z gwiazdką powstała z uwagi na to, że w notacji tej transformaty (podobnie jak w przypadku notacji sygnału spróbkowanego) stosuje się bardzo często gwiazdkę.

Odwrotność transformaty z gwiazdką reprezentuje sygnał spróbkowany z okresem ${\displaystyle T.}$ Odwrotna transformata z gwiazdką nie jest oryginalnym sygnałem, ale zamiast tego spróbkowaną wersją sygnału oryginalnego.

Zależność pomiędzy poszczególnymi reprezentacjami można zapisać następująco:

${\displaystyle x(t)\to X^{*}(s)\to x^{*}(t).}$

Definicja

Transformatę z gwiazdką formalnie można zdefiniować jako:

${\displaystyle X^{*}(s)=\sum _{k=0}^{\infty }x(kT)e^{-kTs},}$

aby lepiej pokazać związek z transformatą Laplace’a powyższe równanie można też zapisać:

${\displaystyle F^{*}(s)={\mathcal {L}}^{*}[f(t)]=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT)e^{-kTs}.}$

Związek z transformatą Laplace’a

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Laplace’a można pokazać, biorąc residua transformaty Laplace’a danej funkcji:

${\displaystyle X^{*}(s)=\sum {\bigg [}{\text{residua}}~X(\lambda ){\frac {1}{1-e^{-T(s-\lambda )}}}{\bigg ]}_{{\text{w miejscach biegunow}}X(\lambda )}}$

lub

${\displaystyle X^{*}(s)={\frac {1}{T}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }X(s+jm\omega _{s})+{\frac {x(0)}{2}},}$

gdzie ${\displaystyle \omega _{s}}$ to częstość kątowa próbkowania taka, że ${\displaystyle \omega _{s}={\frac {2\pi }{T}}.}$

Związek z transformatą Z

Związek transformaty gwiazdkowanej z transformatą Z można pokazać poprzez następujące podstawienie zmiennych:

${\displaystyle z=e^{Ts}.}$

Warto przy tym zauważyć, że w dziedzinie transformaty Z traci się informację o okresie próbkowania ${\displaystyle T.}$

Własności transformaty z gwiazdką

Własność 1

${\displaystyle X^{*}(s)}$ jest okresowa na płaszczyźnie S z okresem ${\displaystyle j\omega _{s}.}$

${\displaystyle X^{*}(s+jm\omega _{s})=X^{*}(s)}$

Własność 2

Jeśli ${\displaystyle X(s)}$ ma biegun w punkcie ${\displaystyle s=s_{1},}$ wówczas ${\displaystyle X^{*}(s)}$ ma bieguny dla ${\displaystyle s=s_{1}+jm\omega _{s},}$ gdzie ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$