Twierdzenie Borsuka-Ulama

Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach – twierdzenie topologiczne, które w swojej popularnonaukowej wersji mówi, że na powierzchni kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych, w których temperatura i ciśnienie są takie same.

Według Matouška[1] ogólne sformułowanie twierdzenia pojawia się po raz pierwszy w pracy Łazara Lusternika i Lwa Sznirelmana z 1930 roku[2]. Samo twierdzenie nosi jednak nazwisko Karola Borsuka, który jako pierwszy podał jego dowód w pracy opublikowanej w Fundamenta Mathematicae z 1933 roku[3], gdzie przypisuje on autorstwo tezy Stanisławowi Ulamowi.

Twierdzenie

Niech S n {\displaystyle S^{n}} oznacza n {\displaystyle n} -wymiarową sferę (jednostkową) przestrzeni euklidesowej R n + 1 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.} Dla dowolnej funkcji ciągłej

f : S n → R n {\displaystyle f\colon S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}

istnieje (co najmniej jeden) taki punkt x ∈ S n , {\displaystyle x\in S^{n},} że

f ( x ) = f ( − x ) . {\displaystyle f(x)=f(-x).}

Równoważne sformułowania[4]

Istnieje kilka faktów topologicznych równoważnych twierdzeniu Borsuka-Ulama. Zazwyczaj wykorzystuje się je w dowodach.

1) Twierdzenie Borsuka-Ulama

2) Ciągła funkcja nieparzysta (czyli zachodzi: f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle f(-x)=-f(x)} ) f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} posiada x ∈ S n , {\displaystyle x\in S^{n},} taki że f ( x ) = 0. {\displaystyle f(x)=0.}

3) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste przekształcenie f : S n → S n − 1 {\displaystyle f:S^{n}\to S^{n-1}} (dla n ⩾ 2 {\displaystyle n\geqslant 2} ).

4) Nie istnieje ciągłe, nieparzyste na: S n − 1 = δ B n {\displaystyle S^{n-1}=\delta B^{n}} odwzorowanie f : B n → S n − 1 . {\displaystyle f:B^{n}\to S^{n-1}.}

Dowód

Przy użyciu kohomologii

Niech f : S n → S n − 1 {\displaystyle f:S^{n}\to S^{n-1}} będzie ciągłym i nieparzystym odwzorowaniem.

Przechodząc do topologii ilorazowej zadanej relacją: x ≃ y ⇔ x = − y {\displaystyle x\simeq y\Leftrightarrow x=-y} dzięki nieparzystości f {\displaystyle f} dostaniemy ciągłe odwzorowanie: f ′ : P n ( R ) → P n − 1 ( R ) , {\displaystyle f':P^{n}(\mathbb {R} )\to P^{n-1}(\mathbb {R} ),} gdzie P n ( R ) {\displaystyle P^{n}(\mathbb {R} )} oznacza n-wymiarową, rzeczywistą przestrzeń rzutową. Z twierdzenia Hurewicza indukuje to homomorfizm pierścieni kohomologii ze współczynnikami z ciała F 2 : {\displaystyle \mathbb {F} _{2}{:}}

F 2 [ x ] / ( x n ) = H ∗ ( P n − 1 ( R ) ; F 2 ) → H ∗ ( P n ( R ) ; F 2 ) = F 2 [ y ] / ( y n + 1 ) , {\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{n})=H^{*}(P^{n-1}(\mathbb {R} );\mathbb {F} _{2})\to H^{*}(P^{n}(\mathbb {R} );\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[y]/(y^{n+1}),}

który na x {\displaystyle x} przybiera wartość y , {\displaystyle y,} ale: x n = 0 , {\displaystyle x^{n}=0,} a y n ≠ 0. {\displaystyle y^{n}\neq 0.} To daje sprzeczność.

Przypisy

  1. ↑ Matoušek 2003 ↓, s. 25.
  2. ↑ Łazar Lusternik, Lew Sznirelman, Topological methods in variational problems, Moskwa, 1930.
  3. ↑ Karol Borsuk: Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre. Warszawa: Fundamenta Mathematicae 20, 1933, s. 177–190.
  4. ↑ ShreejitS. Bandyopadhyay ShreejitS., The Borsuk-Ulam theoremA Combinatorial Proof, 2015 .

Bibliografia

  • Jiří Matoušek, Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag, 2003. ISBN 3-540-00362-2. doi:10.1007/978-3-540-76649-0.