| Ten artykuł od 2011-07 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Twierdzenie o zbieżności średnich – twierdzenie analizy matematycznej pozwalające stwierdzić zbieżność pewnych ciągów i wyznaczyć ich granice.
Twierdzenie
Jeśli ciąg
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą), to granica ciągu średnich arytmetycznych
istnieje i jest jej równa.
Jeśli ponadto
dla każdego n, to również ciągi średnich geometrycznych
i harmonicznych
mają tę samą granicę
Dowód
Korzystając z twierdzenia Stolza dla ciągów
i
otrzymujemy:
- I.
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {c_{n}}{1}}\right)=g\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left({\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)=g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1acfb303c218a7b7321465b0a78345e600a751b9)
- II.
![{\displaystyle \left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)=\left({\frac {c_{n}}{1}}\right){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\pm \infty \Rightarrow \left({\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}c_{k}}{n}}\right)=\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\pm \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d535982ed03caa606f2e72e46f2542d4f83ddd07)
Dla średnich geometrycznych:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}=\lim _{n\to \infty }\exp {{\frac {1}{n}}\ln {\prod _{k=1}^{n}|c_{k}|}}=\lim _{n\to \infty }\exp {{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}\ln {|c_{k}|}}{n}}=\exp {\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}\ln {|c_{k}|}}{n}}}=\exp {\lim _{n\to \infty }\ln {|c_{n}|}}}=\exp {\ln {\lim _{n\to \infty }c_{n}}}=\lim _{n\to \infty }c_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1164733bd55ede4d125cd5a545c82dbe30af65)
Czwarta równość wynika z udowodnionego wyżej twierdzenia, a pozostałe z własności funkcji wykładniczej i logarytmu, w szczególności ich ciągłości.
Dla średnich harmonicznych:
![{\displaystyle {\frac {n}{\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{c_{k}}}}}={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{c_{k}}}}{n}}}}={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{c_{n}}}}}=\lim _{n\to \infty }c_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c2974fa172a93d2c0e61271c18c9e5bb6e48f4)
Druga równość wynika z twierdzenia dla średnich arytmetycznych.
Zastosowania
- Ciąg
jest rozbieżny do nieskończoności, bo n jest taki. ![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{1\prod _{k=1}^{n-1}{\frac {k+1}{k}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeac86b654c47da140d0a52649429125243da010)
Ciągi liczbowe
pojęcia definiujące | ciągi ogólne | - funkcja
- dziedzina
- liczby naturalne
- podzbiór
|
---|
ciągi liczbowe | |
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb | |
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|