Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana – twierdzenie określające zależności między kątami i bokami trójkąta.
Twierdzenie
Jeśli
i
są długościami boków trójkąta, a
i
są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność[1]:
![{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbfab30fcbacf7c0bd0319b8513eede160dc0d6)
Dowód
Z twierdzenia sinusów wynikają równości:
i ![{\displaystyle b=2R\sin \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4bceaf797a93376be330507503d4048b301418)
![{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2R\sin \alpha -2R\sin \beta }{2R\sin \alpha +2R\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76c27045edadb17810a4c27ea476e63d537be27)
Korzystając z wzoru na sumę sinusów i tożsamości
otrzymujemy
![{\displaystyle {\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb40baca5dbaa09742cd26a0dd75a3ef4906bc5)
Twierdzenie tangensów w trygonometrii sferycznej
Dla trójkątów sferycznych obowiązuje analogiczne twierdzenie:
Jeśli
i
są długościami boków trójkąta sferycznego, a
i
są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność:
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} {\frac {a-b}{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55e75c049e4ca048379f8684e39b0b2e928b347)
Zobacz też
Przypisy
- ↑ tangensów twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-09-09] .
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Law of Tangents, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Encyklopedie internetowe (twierdzenie):
- Britannica: topic/law-of-tangents