Zbiór Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota (zwany też żukiem Mandelbrota^[1]) – podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym z najbardziej znanych fraktali^[2][3], „najsłynniejszym obiektem współczesnej matematyki”. Nazwa tego obiektu została wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, matematyka Benoit Mandelbrota^[2].

Historia odkrycia

W 1982 Mandelbrot spopularyzował geometrię fraktalną, publikując swoje dzieło The Fractal Geometry of Nature. Uświadomiło to społeczeństwu, że fraktale są „wśród nas” i mogą przybierać kształty podobne do tych naturalnych^[2]. Oprócz tych rozważań podał też bardzo prostą metodę na utworzenie fraktalu (zbioru) Mandelbrota, który odkryty został dwa lata wcześniej, i w tymże roku udostępnił publicznie efekty swoich badań^[2][4]. Mimo że zbiór nosi nazwisko Mandelbrota, tożsamość prawdziwego odkrywcy jest przedmiotem dysput. Dwóch matematyków upierało się, że odkryli ten zbiór niezależnie od siebie mniej więcej w tym samym czasie, natomiast trzeci, John Hubbard z Uniwersytetu Cornella wyjawił fakt, że na początku 1979 roku podczas odwiedzin w IBM pokazał Mandelbrotowi, jak zaprogramować coś co rok później znane było jako zbiór Mandelbrota. Mandelbrot znany był także z tego, że nie kwapił się do ujawniania wkładu innych^[5].

Konstrukcja

Zbiór tworzą te punkty ${\displaystyle p\in \mathbb {C} ,}$ dla których ciąg ${\displaystyle (z_{i})_{i=0}^{\infty }}$ zdefiniowany równaniem rekurencyjnym^[2][3][4]:

${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=0,\\z_{n+1}=z_{n}^{2}+p.\end{cases}}}$

nie dąży do nieskończoności^[2][3][4]:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}\neq \infty .}$

Można wykazać, że jest to równoważne z^[3]:

${\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }|z_{n}|<2.}$

Podsumowując jednym zdaniem:

${\displaystyle M=\{p\in \mathbb {C} :\forall _{n\in \mathbb {N} }|z_{n}|<2\}.}$

Alternatywnie zbiór Mandelbrota definiuje się jako punkty, które w rodzinie zbiorów Julii dają zbiory spójne.

Samopodobieństwo

Zbiór Mandelbrota nie jest samopodobny^[2][3], co zostało dowiedzione przez chińską matematyczkę Tan Lei, łącznie z faktem, że lokalnie jest podobny do odpowiedniego zbioru Julii.

Obrazy przybliżone

Za pomocą komputera można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota. Obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki.

Aby uzyskać taki obraz, dla każdego punktu ${\displaystyle p}$ oblicza się pewną liczbę początkowych wyrazów ciągu ${\displaystyle z_{n}.}$ Decyduje się, że punkt należy do zbioru, jeżeli dla wszystkich (w szczególności dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek ${\displaystyle |z_{n}|<2.}$ Jest to tym samym obraz przybliżony. Okazuje się jednak, że efekt przybliżenia jest widoczny tylko w dużych powiększeniach. Zbiór Mandelbrota zawiera się w (jest podzbiorem) każdym przybliżeniu. Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę ${\displaystyle m{:}}$

${\displaystyle \forall _{n\leqslant m}|z_{n}|<2.}$

Jest to liczba początkowych wyrazów ciągu ${\displaystyle z_{n},}$ które spełniają powyższy warunek. Ponieważ podczas wyznaczania obrazu przybliżonego liczba ${\displaystyle m}$ jest uzyskiwana niejako „za darmo”, często wykorzystuje się ją do zabarwiania punktów nie należących do zbioru Mandelbrota. Każdej z wartości ${\displaystyle m}$ przyporządkowuje się pewien kolor.

Przykładowy program

Skrypt napisany w Matlabie generujący zbiór Mandelbrota podobny jak na górze strony:

%Zbiór Mandelbrota

%zakres układu współrzędnych:
x_min = -2.5;
x_max = 1.5;
y_max = 1.25;
y_min = -1.25;

iterations = 50;
m = input('podaj szerokość:\n'); %program wygeneruje obrazek o szerokości m pikseli i proporcji zależnej od zakresu układu wsp.
n = floor(m * (y_max - y_min)/(x_max - x_min));
unit = (x_max - x_min)/m;
Mal = zeros(n,m,3);

C_0 = x_min + 1i*y_max;
C = C_0;

%Tutaj zaczynają się parametry kolorowania
w1 = 50;
w2 = 50;
w3 = 50;

p1 = 2.2;
p2 = 2.2;
p3 = 2.2;

c1 = 1/4;
c2 = 1/2;
c3 = 3/4;

f1 = @(x) exp(-w1*abs(x-c1).^p1);
f2 = @(x) exp(-w2*abs(x-c2).^p2);
f3 = @(x) exp(-w3*abs(x-c3).^p3);
%koniec kolorowania

for i = 1:n
    C = C - real(C) + real(C_0);
    for j = 1:m
        c = checkC(0, C, iterations) / iterations;
        Mal(i,j,1) = f1(c);
        Mal(i,j,2) = f2(c);
        Mal(i,j,3) = f3(c);
        %Mal(i,j:) = c; %gdy chcemy zbiór czarno biały
        C = C + unit;
    end
    C = C - 1i*unit;
end

imshow(Mal);

Użyta w skrypcie funkcja sprawdzająca zbieżność ciągu:

function [ it_used ] = checkC(z_0, C, it_max )

    for i = 0:it_max
        z_1 = z_0^2 + C;
        if abs(z_1) >= 2
            break;
        end
        z_0 = z_1;
    end

    it_used = i;
end

Zobacz też

• mnich Mandelbrota
• MPSolve – obliczanie punktów centralnych składowych zbioru Mandelbrota
• płonący statek

Przypisy

Bibliografia

• Agnijo Banerjee, David Darling: Dziwna matematyka. Helion S.A., 2020. ISBN 83-283-5687-2.
• Iwo Białynicki-Birula, Iwona Białynicka-Birula: Modelowanie rzeczywistości. Warszawa: Prószyński i S-ka SA, 2002. ISBN 83-7255-103-0.

Linki zewnętrzne

Zobacz galerię związaną z tematem: Zbiór Mandelbrota

Polskojęzyczne

• Informacje o fraktalu i kod w różnych językach programowania

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mandelbrot Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Decoding Math's Most Famous Fractal: The Mandelbrot Set, kanał Quanta Magazine na YouTube, 27 stycznia 2024 [dostęp 2024-01-28].
• Generator żuka Mandelbrota napisany w HTML5 i JavaScript
• FractalTS Generator zbiorów mandelbrota, płonącego statku oraz odpowiadających zbiorów julii
• Fragment żuka Mandelbrota wyświetlony przy ograniczeniu do 500 iteracji^{[martwy link]} lub 2000 iteracji^{[martwy link]}.