Álgebra multilinear

Em matemática, álgebra multilinear amplia os métodos da álgebra linear. Assim como a álgebra linear é construída sob o conceito de um vetor e desenvolve a teoria de espaços vetoriais, a álgebra multilinear baseia-se no conceito de um tensor e desenvolve a teoria de espaços tensoriais.

Aplicações Multilineares

Definição

Sejam ${\displaystyle V_{1},\cdots ,V_{k},W}$ espaços vetoriais sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Uma aplicação ${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to W}$ é dita multilinear (ou k-linear) se ela é linear em cada uma de suas componentes, isto é, se para todos ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},\cdots ,v_{i},v_{i}'\in V_{i},\cdots ,v_{k}\in V_{k}}$ e ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$, valem

${\displaystyle f(v_{1},\cdots ,v_{i}+v_{i}',\cdots ,v_{k})=f(v_{1},\cdots ,v_{i},\cdots ,v_{k})+f(v_{1},\cdots ,v_{i}',\cdots ,v_{k})}$
${\displaystyle f(v_{1},\cdots ,\alpha v_{i},\cdots ,v_{k})=\alpha f(v_{1},\cdots ,v_{i},\cdots ,v_{k})}$

É comum encontrar a definição trabalhando sobre ${\displaystyle R}$-módulos, em que ${\displaystyle R}$ é um anel comutativo com unidade, ao invés de sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Neste caso a definição é exatamente a mesma.

Exemplos

1. Toda transformação linear é um caso particular de uma aplicação 1-linear. Qualquer aplicação ${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to W}$ nula, para quaisquer espaços ${\displaystyle V_{1},\cdots ,V_{k},W}$ (sobre um mesmo corpo) é k-linear.
2. Seja ${\displaystyle \mathbb {K} }$ um corpo qualquer e ${\displaystyle m}$ um inteiro positivo qualquer. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ admite uma estrutura de espaço vetorial sobre ele mesmo. Defina ${\displaystyle f:\mathbb {K} \times \cdots \times \mathbb {K} \to \mathbb {K} }$ por ${\displaystyle f(x_{1},\cdots ,x_{m})=x_{1}\cdots x_{m}}$ o produto dos elementos ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{m}}$. É fácil verificar que esta aplicação é m-linear.
3. Mais geralmente, seja ${\displaystyle V}$ um espaço vetorial sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (não necessariamente de dimensão finita) e fixe ${\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{m}\in V^{\ast }}$ funcionais lineares quaisquer. Então a aplicação ${\displaystyle F:V\times \cdots \times V\to \mathbb {K} }$, definida por ${\displaystyle F(v_{1},\cdots ,v_{n})=f_{1}(v_{1})\cdots f_{n}(v_{n})}$ é n-linear, como pode ser verificado facilmente.
4. Sejam ${\displaystyle n,m}$ inteiros positivos. Os conjuntos ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {K} )}$ e ${\displaystyle \mathbb {M} _{m}(\mathbb {K} )}$, de todas as matrizes ${\displaystyle n\times n}$ e ${\displaystyle m\times m}$, respectivamente, sobre o corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, formam um ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaço vetorial. Fixe uma matriz ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle n\times m}$ com coeficientes em ${\displaystyle \mathbb {K} }$, e defina a aplicação ${\displaystyle f:\mathbb {M} _{n}(\mathbb {K} )\times \mathbb {M} _{m}(\mathbb {K} )\to \mathbb {M} _{nm}(\mathbb {K} )}$ por ${\displaystyle f(X,Y)=XAY}$ das propriedades de produto (usual) de matrizes (herdadas da estrutura de ${\displaystyle \mathbb {K} }$), segue que ${\displaystyle f}$ é uma aplicação 2-linear (ou bilinear).
5. Considere o espaço ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$. Se ${\displaystyle \alpha _{1}=(a_{11},\cdots ,a_{1n}),\cdots ,\alpha _{n}=(a_{n1},\cdots ,a_{nn})\in \mathbb {K} ^{n}}$ são vetores (representados na base canônica), então a aplicação ${\displaystyle f:\mathbb {K} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} }$, definida por ${\displaystyle f(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})=\det \left({\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots &a_{nn}\\\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{array}}\right)}$ é n-linear, como pode ser verificado das propriedades clássicas de determinante. Este exemplo é importante porque é, em certo sentido, a única aplicação multilinear alternada.
6. Este é um importante exemplo. Sejam ${\displaystyle V_{1},\cdots ,V_{k},W}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaços vetoriais, ${\displaystyle f,g:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to W}$ k-lineares e ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$. É fácil verificar que as aplicações ${\displaystyle f+g}$ e ${\displaystyle \alpha f}$, definidas por${\displaystyle (f+g)(v_{1},\cdots ,v_{k})=f(v_{1},\cdots ,v_{k})+g(v_{1},\cdots ,v_{k})}$${\displaystyle (\alpha f)(v_{1},\cdots ,v_{k})=\alpha f(v_{1},\cdots ,v_{k})}$ são k-lineares. Este exemplo mostra que o espaço de todas as aplicações k-lineares de ${\displaystyle V_{1}\times \cdots \times V_{k}}$ para ${\displaystyle W}$ é um subespaço vetorial, do espaço de todas as aplicações nestes domínio e contradomínio. Costuma-se denotar este espaço por ${\displaystyle {\mathcal {L}}(V_{1},\cdots ,V_{k};W)}$; quando temos um mesmo espaço ${\displaystyle V}$ repetido k vezes, denota-se simplesmente por ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}(V;W)}$; e quando o contradomínio é o corpo de escalares, denota-se simplesmente por ${\displaystyle {\mathcal {L}}(V_{1},\cdots ,V_{k})}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}(V)}$.

Obs.: Todos os exemplos acima ainda valem, trocando "${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaço vetorial" por "${\displaystyle R}$-módulo" e "corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$" por "anel comutativo com unidade ${\displaystyle R}$", e a verificação da multilinearidade é exatamente a mesma em ambos os casos.

Construção Universal

Obs.: Tudo o que será feito adiante ainda valerá trocando os nomes "${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaço vetorial" por "${\displaystyle R}$-módulo" e "corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$" por "anel comutativo com unidade ${\displaystyle R}$". Isto se deve ao fato de todas as propriedades utilizadas dos espaços vetoriais serem exigidos nos R-módulos (os espaços vetoriais são um caso particular de módulo - módulos sobre corpos). Uma propriedade que um espaço vetorial carrega e um R-módulo geral não é a divisão por escalar não nulo, isto é, num corpo qualquer sempre podemos dividir por qualquer elemento não nulo, mas num anel comutativo com unidade geral não. Por exemplo em ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, nem sempre podemos dividir por ${\displaystyle 2}$.

Considere o seguinte enunciado universal: "dados ${\displaystyle V_{1},\cdots ,V_{k}}$ espaços vetoriais sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$, existe um par ${\displaystyle (\phi ,M)}$, em que ${\displaystyle M}$ é um ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaço vetorial e ${\displaystyle \phi :V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to M}$ é k-linear, tal que, dada qualquer ${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to N}$ k-linear, existe única ${\displaystyle h:M\to N}$ linear satisfazendo ${\displaystyle f=h\circ \phi }$."
O par ${\displaystyle (\phi ,M)}$ "transforma" qualquer aplicação k-linear em uma aplicação linear. A construção do par ${\displaystyle (\phi ,M)}$ pode ser feita da seguinte maneira:

Chame de ${\displaystyle V}$ ao espaço vetorial formal gerado pelos elementos ${\displaystyle V_{1}\times \cdots \times V_{k}}$ sobre o corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, isto é, os elementos de ${\displaystyle V}$ são somas finitas de elementos da forma ${\displaystyle \alpha \cdot (v_{1},\cdots ,v_{k})}$, em que ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$ e ${\displaystyle (v_{1},\cdots ,v_{k})\in V_{1}\times \cdots \times V_{k}}$, ou seja, o produto de um elemento do corpo com um elemento de ${\displaystyle V_{1}\times \cdots \times V_{k}}$. Por exemplo, em ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle 1\cdot (v_{1},0,\cdots ,0)+1\cdot (v_{1}',0,\cdots ,0),1\cdot (v_{1}+v_{1}',0,\cdots ,0)}$ e ${\displaystyle 1\cdot (2v_{1},0,\cdots ,0),2\cdot (v_{1},0,\cdots ,0)}$ são elementos distintos em ${\displaystyle V}$. No primeiro par, o primeiro elemento é a soma formal de dois elementos do produto ${\displaystyle V_{1}\times \cdots \times V_{k}}$ e o segundo elemento é um único elemento em ${\displaystyle V_{1}\times \cdots \times V_{k}}$, e são totalmente diferentes. No segundo par, o primeiro elemento é 1 multiplicado por um elemento, e o segundo, é 2 multiplicado por um outro elemento, e são totalmente diferentes.
Considere o subespaço ${\displaystyle W<V}$ gerado pelos seguintes elementos:

em que variam ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$ e ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},\cdots ,v_{i},v_{i}'\in V_{i},\cdots ,v_{k}\in V_{k}}$. Defina o espaço quociente ${\displaystyle M=V/W}$ e a aplicação ${\displaystyle \phi :V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to M}$ de forma canônica. Por construção teremos ${\displaystyle \phi }$ k-linear, e afirmamos que o par ${\displaystyle (\phi ,M)}$ é o par que resolve o enunciado universal.

De fato, seja ${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to N}$ k-linear qualquer. Defina a aplicação ${\displaystyle h:M\to N}$, em que se ${\displaystyle (v_{1},\cdots ,v_{k})\in V_{1}\times \cdots \times V_{k}}$, então ${\displaystyle h{\overline {(v_{1},\cdots ,v_{k})}}=f(v_{1},\cdots ,v_{k})}$. Assim sendo, ${\displaystyle h}$ pode ser estendida por linearidade sobre ${\displaystyle U}$, e então, definida unicamente em ${\displaystyle M}$. Note que por ${\displaystyle f}$ ser k-linear, ${\displaystyle h}$ está bem definida. Por construção temos ${\displaystyle f=h\circ \phi }$. Além disso, suponha ${\displaystyle h'}$ também satisfazendo ${\displaystyle f=h'\circ \phi }$. Então, em particular, ${\displaystyle h,h'}$ coincidem em todos os elementos ${\displaystyle {\overline {(v_{1},\cdots ,v_{k})}}\in M}$, e então, ${\displaystyle h=h'}$. Isso conclui a construção.

Desta construção, temos que o par ${\displaystyle (\phi ,M)}$ é único. De fato, se ${\displaystyle (\phi ',M')}$ é outro par que satisfaz o enunciado universal, então, por ${\displaystyle \phi ':V_{1}\times \cdots \times V_{k}\to M'}$ ser k-linear, existe ${\displaystyle h:M\to M'}$ linear tal que ${\displaystyle \phi '=h\circ \phi }$. Do mesmo modo, existe ${\displaystyle h':M'\to M}$ linear tal que ${\displaystyle \phi =h'\circ \phi '}$. Destas relações, segue que ${\displaystyle h\circ h'\circ \phi '=\phi '=1_{M'}\circ \phi '}$, em que ${\displaystyle 1_{M'}}$ é a identidade em ${\displaystyle M'}$. Pela unicidade de ${\displaystyle 1_{M'}}$ (pois deve existir uma única aplicação linear ${\displaystyle 1_{M'}:M'\to M'}$ tal que ${\displaystyle \phi '=1_{M'}\circ \phi '}$), teremos necessariamente ${\displaystyle 1_{M'}=h\circ h'}$. Da mesma forma teremos ${\displaystyle 1_{M}=h'\circ h}$, de onde se conclui que ${\displaystyle h}$ é um isomorfimos com inversa ${\displaystyle h'}$. Daí ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle M'}$ são isomorfos, e tem-se a unicidade.

Produto tensorial

Existem muitas maneiras (equivalentes) de definir "produto tensorial". Apresentaremos alguns. Como de costume, tudo o que for feito poderá ser repetido trocando os termos "${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaço vetorial" por "${\displaystyle R}$-módulo" e "corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$" por "anel comutativo com unidade ${\displaystyle R}$". A única exceção é quando fizermos referência à base de espaço vetorial, pois devemos exigir "anel comutativo com unidade livre".

Construção universal

Sejam ${\displaystyle V_{1},\cdots ,V_{k}}$ espaços vetoriais sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Considere o (único) par ${\displaystyle (\phi ,M)}$ que resolve o enunciado universal acima. O produto tensorial de ${\displaystyle V_{1},\cdots ,V_{k}}$ é definido como o espaço vetorial ${\displaystyle M}$, e é denotado por ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}}$. Se ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},\cdots ,v_{k}\in V_{k}}$, então denota-se ${\displaystyle \phi (v_{1},\cdots ,v_{k})}$ por ${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k}}$

Proposição: Seguindo a notação acima, os elementos ${\displaystyle \phi (v_{1},\cdots ,v_{k})=v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k}}$ geram o espaço ${\displaystyle M=V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}}$, variando os elementos ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},\cdots ,v_{k}\in V_{k}}$
Demonstração: Chame de ${\displaystyle N}$ o subespaço de ${\displaystyle M}$ gerado pelos elementos ${\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{k}}$, como no enunciado, e considere o espaço quociente ${\displaystyle W=M/N}$. Isto induz uma aplicação multilinear ${\displaystyle \pi :V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}\to W}$ (a projeção natural), e considere a aplicação nula ${\displaystyle g:V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}\to W}$. Note que ${\displaystyle \pi \circ \phi =g\circ \phi }$, e por construção de ${\displaystyle M}$, necessariamente ${\displaystyle \pi =g}$, donde se conclui a afirmação.

Corolário: Se ${\displaystyle u_{1}^{i},\cdots ,u_{m_{i}}^{i}}$ formam uma base para ${\displaystyle V_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\cdots ,k}$, então os elementos ${\displaystyle u_{i_{1}}^{1}\otimes \cdots \otimes u_{i_{k}}^{k}}$ geram ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{k}}$, para ${\displaystyle i_{1}=1,\cdots ,m_{k},\cdots ,i_{k}=1,\cdots ,m_{k}}$.

Construção Concreta

Sejam ${\displaystyle V_{1},\cdots ,V_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaços vetoriais e considere ${\displaystyle V_{1}^{\ast },\cdots ,V_{k}^{\ast }}$ os seus duais algébricos. O produto tensorial de ${\displaystyle V_{1}^{\ast },\cdots ,V_{k}^{\ast }}$, denotado por ${\displaystyle V_{1}^{\ast }\otimes \cdots \otimes V_{k}^{\ast }}$, é o ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espaço vetorial gerado pelos elementos ${\displaystyle f_{1}\cdots f_{k}}$ (produto de funções), em que se variam ${\displaystyle f_{1}\in V_{1}^{\ast },\cdots ,f_{k}\in V_{k}^{\ast }}$.

Ver também

• Tratamento clássico de tensores
• Tensor dinâmico
• Notação bra-ket
• Álgebra geométrica
• Álgebra de Clifford
• Pseudoscalar
• Pseudovetor
• Produto externo
• Número hipercomplexo

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