Circuito LC

Os circuitos LC comportam-se como ressonadores eletrônicos, sendo um componente chave em muitas aplicações, tais como osciladores, filtros e misturadores de frequência. Esse circuito é muito usado em transmissores sem fio como as comunicações de rádio tanto para emissão quanto recepção.

Definição

Um circuito LC consiste de um indutor e um capacitor. A corrente elétrica irá alternar com uma frequência angular $\omega$ dada por

$\omega ={\sqrt {1 \over LC}}$ .

Nessa expressão, $L$ é a indutância e $C$ a capacitância.^[1]

Um circuito LC é um modelo idealizado, visto que ele assume que não há dissipação de energia devido à resistência elétrica. Para um modelo incorporando a resistência veja o circuito RLC.

Frequência de ressonância

A frequência de ressonância do circuito LC (em radianos por segundo) é

\omega ={\sqrt {1 \over LC}}

A frequência equivalente, medida em hertz é

f={1 \over {2\pi {\sqrt {LC}}}}

Análise do circuito

Pela Lei da Tensão de Kirchoff, nós sabemos que a tensão através do capacitor, $V_{C}$ deve ser igual à tensão através do indutor, $V_{L}$ :

V_{C}=V_{L}

Do mesmo modo, pela lei da corrente de Kirchoff, a corrente através do capacitor mais a corrente através do indutor devem ser iguais a zero:

i_{C}+i_{L}

= 0

Das relações constitutivas para os elementos do circuito, nos sabemos que

V_{L}(t)=L{\frac {di_{L}}{dt}}

i_{C}(t)=C{\frac {dV_{C}}{dt}}

Após rearranjar e substituir, nós obtemos uma equação diferencial de segunda ordem

{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0

Então definimos o parâmetro ω como segue:

\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}

Com esta definição, podemos simplificar a equação diferencial:

{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+\omega ^{2}i(t)=0

O polinomial associado é $s^{2}+\omega ^{2}=0$ , então

s=+j\omega

s=-j\omega

onde j é a unidade imaginária.

Portando, a solução completa para a equação diferencial é

i(t)=Ae^{+j\omega t}+Be^{-j\omega t}

e pode ser resolvida para $A$ e $B$ considerando-se as condições iniciais.

Visto que a exponencial é complexa, a solução represente uma corrente alternada senoidal.

Se as condições iniciais são tais que $A=B$ , então nós podemos utilizar a fórmula de Euler para obter uma senóide real com amplitude $2A$ e frequência angular $\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ .

Deste modo, a solução resultante se torna:

i(t)=2Acos(\omega t)

As condições iniciais que satisfariam este resultado são:

i(t=0)=2A

{\frac {di}{dt}}(t=0)=0

Cálculo da capacitância ou da indutância

A equação $F={1 \over {2\pi {\sqrt {LC}}}}$ recebe três variáveis F (frequência, em hertz), L (indutância, em Henrys) e C (capacitância, em Farads), com F em evidência. Podemos deixar L ou C em evidência, para calcular a indutância ou a capacitância, respectivamente.

Para calcular a capacitância tendo a frequência e a indutância: $C={1 \over {LF^{2}4\pi ^{2}}}$

Para calcular a indutância tendo a frequência e a capacitância: $L={1 \over {CF^{2}4\pi ^{2}}}$

Impedância dos circuitos LC

LC série

Consideremos primeiro a impedância do circuito LC série. A impedância total é dada pela soma das impedâncias capacitiva e indutiva:

Z=Z_{L}+Z_{C}

Escrevendo a impedância indutiva como $Z_{L}=j\omega L$ , a impedância capacitiva como $Z_{C}={\frac {-j}{\omega C}}$ e substituindo nós temos:

Z=j\omega L+{\frac {-j}{\omega C}}

Escrevendo esta expressão sob um denominador comum temos:

Z={\frac {(\omega ^{2}LC-1)j}{\omega C}}

Note que o numerador implica que se $\omega ^{2}LC=1$ a impedância total Z será igual a zero e em outros casos diferente de zero. Desse modo o circuito conectado em série irá atuar como um filtro passa-banda, possuindo impedância zero na frequência de ressonância do circuito LC.

LC paralelo

A mesma análise pode ser aplicada ao circuito LC paralelo. A impedância total é então dada por:

Z={\frac {Z_{L}Z_{C}}{Z_{L}+Z_{C}}}

e após a substituição de $Z_{L}$ e $Z_{C}$ , nós temos:

Z={\frac {\dfrac {L}{C}}{\dfrac {(\omega ^{2}LC-1)j}{\omega C}}}

o que simplifica a:

Z={\frac {-L\omega j}{\omega ^{2}LC-1}}

Note que $\lim _{\omega ^{2}LC\to 1}Z=\infty$ porém para todos os outros valores de $\omega ^{2}LC$ a impedância é finita. Deste modo o circuito conectado em paralelo atuará como um filtro rejeita-banda, possuindo impedância infinita na frequência de ressonância do circuito LC.

Seletividade

Os circuitos LC são comumente utilizados como filtros; a razão L/C determina a sua seletividade. Para um circuito ressonante série, quanto maior a indutância e menor a capacitância, mais estreita é a banda passante. Para um circuito ressonante paralelo o inverso se aplica.