Conjectura de Andrica

(a) A função ${\displaystyle A_{n}}$ para os primeiros 100 primos.

(b) A função ${\displaystyle A_{n}}$ para os primeiros 200 primos.

(c) A função ${\displaystyle A_{n}}$ para os primeiros 500 primos.

Provas gráficas da Conjectura de Andrica para (a)100, (b)200 e (c)500 números primos. A função ${\displaystyle A_{n}}$ é sempre menor que 1.

A Conjectura de Andrica é um dos problemas não resolvidos da matemática, sendo relacionada com a distribuição dos números primos e a distância entre dois primos consecutivos. Seu nome é homenagem ao matemático Dorin Andrica.^[1]

Conjectura

A conjectura afirma que a desigualdade

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

é válida ${\displaystyle \forall n}$ (para todo n), onde ${\displaystyle p_{n}}$ representa o n-ésimo número primo. Se ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ denota a n-ésima diferença entre dois primos, a conjectura de Andrica pode ser reescrita como

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Evidências empíricas

Imran Ghory usou os dados sobre as maiores diferenças entre dois primos consecutivos para confirmar a veracidade da conjectura para ${\displaystyle n}$ maior que 1,3002 × 10¹⁶.^[2] Usando tabelas maiores, a confirmação dos valores foi estendida exaustivamente para 4 × 10¹⁸.

A função discreta ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$e seus gráficos são mostrados ao lado. Os maiores valores de ${\displaystyle A_{n}}$ ocorrem para n = 1, 2, and 4, com A₄ ≈ 0.670873..., sem valores maiores para os próximos 10⁵ primeiros primos. Como a função de Andrica decresce assintoticamente conforme n aumenta, , uma diferença entre primos precisa fazer o valor da diferença ser maior conforme n se torna maior. Isso indica fortemente que a conjectura é verdadeira, ainda que ainda não tenha sido provada nem refutada.

Generalizações

Uma generalização da conjectura de Andrica pode ser feita levando em conta a seguinte equação:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

onde ${\displaystyle p_{n}}$ é on-ésimo número primo e x pode ser qualque número positivo.

A maior solução para o possível valor de x é fácil de ocorrer para ${\displaystyle n=1}$, quando x_max = 1. Se conjectura que a menor solução x é x_min ≈ 0.567148... (sequência A038458 na OEIS) que ocorre para  n = 30.

Essa conjectura também pode ser apresentada como uma desigualdade, a conjectura de Andrica generalizada:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$ for ${\displaystyle x<x_{\min }.}$

Status

A conjectura ainda não foi provada nem refutada, apesar de haver fortes indícios de que esta seja verdadeira.^[3]

Ver também

•  Conjectura de Oppermann
•  Conjectura de Legendre
•  Conjectura de Cramer
•  Conjectura de Firoozbakht

Referências

• Portal da matemática