Conversor Ćuk

O conversor Ćuk ou regulador Ćuk é um conversor CC/CC que fornece uma tensão de saída que é menor ou maior que a tensão de entrada, mas a polaridade da tensão de saída é oposta à da tensão de entrada ^[1]. Além disso, o circuito tem baixas perdas de chaveamento e eficiência elevada. Esse circuito requer um capacitor e um indutor adicionais em relação ao conversor Buck-Boost.^[2]

O conversor Ćuk baseia-se na transferência de energia do capacitor, tal particularidade se deve à característica de fonte de corrente tanto em sua entrada quanto em sua saída. A característica de fonte de corrente se deve ao indutor em série com sua entrada ou saída.

Como o conversor Ćuk possui característica de fonte de corrente em sua entrada e em sua saída, é necessário o desacoplamento entre a entrada e a saída do conversor Ćuk, que neste caso é feito pelo capacitor. Em linhas gerais, durante a operação do conversor Ćuk, não há uma transferência de energia direta entre a entrada e a saída do conversor. Sendo assim, o capacitor tem o objetivo de armazenar a energia da fonte e transferi-la para a saída. Esta característica define o conversor Ćuk como um conversor acumulador de energia capacitiva. ^[3]

Resumo das equações

O quadro a seguir contém algumas das equações do conversor Ćuk no MCC.

Equações do conversor Ćuk

Variável	Equação
Ganho estático	${\displaystyle G={\frac {D}{1-D}}}$
Corrente média do indutor ${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle I_{L_{1}}=I_{in}}$
Corrente média do indutor ${\displaystyle L_{2}}$	${\displaystyle I_{L_{2}}=I_{o}}$
Ondulação de corrente do indutor ${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle \Delta I_{L_{1}}={\frac {V_{S}}{L_{1}}}DT_{s}={\frac {V_{S}-V_{C}}{L_{1}}}(1-D)T_{s}}$
Ondulação de corrente do indutor ${\displaystyle L_{2}}$	${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}={\frac {V_{C}-V_{o}}{L_{2}}}DT_{s}={\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)T_{s}}$
Ondulação de tensão no capacitor de acoplamento ${\displaystyle C}$	${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {V_{o}D}{RCf_{s}}}}$
Ondulação de tensão no capacitor de saída ${\displaystyle C_{o}}$	${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {(V_{C}-V_{o})D}{8L_{2}C_{o}{f_{s}}^{2}}}={\frac {V_{o}(1-D)}{8L_{2}C_{o}{f_{s}}^{2}}}}$
Corrente média na chave	${\displaystyle I_{S_{W}}=I_{o}{\frac {D}{1-D}}=I_{in}}$
Corrente média na diodo	${\displaystyle I_{D}=I_{o}}$

Conversor Ćuk no Modo de Condução Contínua (MCC)

O conversor Ćuk no MCC (Modo de Condução Contínua), assim como outros conversores CC-CC tradicionais, opera em duas etapas. A primeira esta consiste no período em que a chave está fechada, enquanto a segunda etapa corresponde ao período em que a chave está aberta.^[4]

Para motivos da análise pode ser interessante definir as relações mostradas a seguir:

${\displaystyle t_{on}=DT_{s}}$

e

${\displaystyle t_{off}=(1-D)T_{s}=D'T_{s}}$

Em que ${\displaystyle D}$ representa a razão cíclica. A razão cíclica normalmente assume valores entre 0 e 1. ${\displaystyle T_{s}}$ é o período da frequência de chaveamento (${\displaystyle f_{s}}$) que corresponde à

${\displaystyle T_{s}={\frac {1}{f_{s}}}}$

Primeira etapa de operação

Durante a primeira etapa de operação, há a magnetização dos indutores ${\displaystyle L_{1}}$ e ${\displaystyle L_{2}}$. Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões, é possível encontrar que, o indutor ${\displaystyle L_{1}}$ é magnetizado pela tensão de entrada

${\displaystyle L_{1}{\frac {di_{L_{1}}}{dt}}=V_{S}}$

e o indutor ${\displaystyle L_{2}}$ é magnetizado pela diferença de tensão entre a tensão no capacitor ${\displaystyle C}$ e a tensão de saída.

${\displaystyle L_{2}{\frac {di_{L_{2}}}{dt}}=V_{C}-V_{o}}$

Pelas equações anteriores é possivel encontrar a corrente dos indutores. A corrente instantânea dos indutores podem ser dadas por:

${\displaystyle i_{L_{1}}(t)={\frac {V_{S}}{L_{1}}}t+I_{L_{1min}}}$

${\displaystyle i_{L_{2}}(t)={\frac {(V_{C}-V_{o})}{L_{2}}}t+I_{L_{2min}}}$

Pelas equações das correntes nos indutores, é possivel determinar a ondulação de correntes ou ripple nos mesmos, pois a corrente cresce linearmente de seu valor mínimo (${\displaystyle I_{L_{min}}}$) até seu valor máximo (${\displaystyle I_{L_{max}}}$). O valor máximo é atingido no tempo ${\displaystyle t=DT_{s}}$.

${\displaystyle \Delta I_{L_{1}}=I_{L_{1max}}-I_{L_{1min}}={\frac {V_{S}}{L_{1}}}DT_{s}}$

${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}=I_{L_{2max}}-I_{L_{2min}}{\frac {(V_{C}-V_{o})}{L_{2}}}DT_{s}}$

Durante a primeira etapa, o capacitor de acoplamento ${\displaystyle C}$ é descarregado, transferindo sua energia ao indutor ${\displaystyle L_{2}}$, sendo assim pode-se escrever a corrente no capacitor ${\displaystyle C}$ como:

${\displaystyle C{\frac {dv_{C}}{dt}}=-i_{L_{2}}(t)}$

Por sua vez, a corrente no capacitor de saída ${\displaystyle C_{o}}$ pode ser dada por:

${\displaystyle C_{o}{\frac {dv_{o}}{dt}}=i_{L_{2}}(t)-I_{o}}$

A equação da corrente no capacitor ${\displaystyle C_{o}}$ mostra que sua corrente é igual à corrente do indutor ${\displaystyle L_{2}}$ subtraída de seu valor médio, ou ainda, há apenas a circulação do ripple da corrente do indutor no capacitor.

Segunda etapa de operação

A segunda etapa de operação do conversor Ćuk consiste no período em que a chave está aberta ${\displaystyle (1-D)T_{s}}$, que ocasiona a polarização direta do diodo. Durante a segunda etapa há a desmagnetização dos indutores. Na segunda etapa, o indutor ${\displaystyle L_{1}}$ é desmagnetizado com a diferença da tensão entre a entrada e tensão do capacitor ${\displaystyle C}$.

${\displaystyle L_{1}{\frac {di_{L_{1}}}{dt}}=V_{S}-V_{C}}$

Já o indutor ${\displaystyle L_{2}}$ é desmagnetizado pela tensão de saída.

${\displaystyle L_{2}{\frac {di_{L_{2}}}{dt}}=-V_{o}}$

Sendo assim, a corrente dos indutores pode ser escrita como:

${\displaystyle i_{L_{1}}(t)={\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}t+I_{L_{1max}}}$

${\displaystyle i_{L_{2}}(t)=-{\frac {V_{o}}{L_{2}}}t+I_{L_{2max}}}$

Ao término da segunda etapa, a corrente dos indutores atinge o valor mínimo em ${\displaystyle t=(1-D)T_{s}}$, portanto pode-se escrever

${\displaystyle I_{L_{1min}}=-{\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)T_{s}+I_{L_{1max}}}$ ${\displaystyle I_{L_{2min}}=-{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)T_{s}+I_{L_{2max}}}$

Por meio das equações acima, também é possível determinar as ondulações de corrente nos indutores, sendo:

${\displaystyle \Delta I_{L_{1}}=I_{L_{1max}}-I_{L_{1min}}={\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)T_{s}}$

${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}=I_{L_{2max}}-I_{L_{2min}}=-{\frac {V_{o}}{L_{1}}}(1-D)T_{s}}$

Em relação aos capacitores, durante a segunda etapa, a corrente no capacitor ${\displaystyle C}$ pode ser descrita como:

${\displaystyle C{\frac {dv_{C}}{dt}}=i_{L_{1}}(t)}$

Por sua vez, a expressão da corrente no capacitor ${\displaystyle C_{o}}$ é a mesma vista na primeira etapa.

${\displaystyle C_{o}{\frac {dv_{o}}{dt}}=i_{L_{2}}(t)-I_{o}}$

Ganho estático, tensões e correntes médias

Antes de prosseguir com os demais itens, é necessário determinar a tensão média no capacitor de acoplamento, o capacitor ${\displaystyle C}$. O valor de tensão média neste componente pode ser encontrado através da lei de Kirchhoff das tensões, sendo aplicada à malha externa, a malha que envolve os indutores e o capacitor de saída, como destacado na figura.

Pela análise, encontra-se a seguinte soma das tensões:

${\displaystyle -V_{S}+V_{L_{1}}+V_{C}-V_{L_{2}}-V_{o}=0}$

Sendo assim, sabendo que a tensão média em regime permanente dos indutores é nula, a tensão média em ${\displaystyle C}$ para o regime permanente pode ser dada por:

${\displaystyle V_{C}=V_{S}+V_{o}}$

O ganho estático do conversor Ćuk pode ser encontrado pela relação de tensão média no indutor, pois a tensão média no indutor em regime permanente é nula, desta forma pode-se escrever: ^[5][4]

${\displaystyle V_{L_{1}}={\frac {1}{T_{s}}}\left(\int _{0}^{DT_{s}}V_{S}\,dt+\int _{0}^{(1-D)T_{s}}(V_{S}-V_{C})\,dt\right)=0}$
${\displaystyle V_{L_{1}}=(V_{S})D+(V_{S}-V_{C})(1-D)=0}$

Substituindo ${\displaystyle V_{C}}$ e rearranjando-se os termos encontra-se o ganho estático.

${\displaystyle G={\frac {V_{o}}{V_{S}}}={\frac {D}{1-D}}}$

O ganho estático também pode ser obtido do mesmo modo através da relação de tensão no inditor ${\displaystyle L_{2}}$.

Dada a característica de fonte de corrente na entrada do conversor Cuk, ou seja um indutor em séria com a entrada, a corrente no indutor ${\displaystyle L_{1}}$ é a própria corrente média de entrada.

${\displaystyle I_{L_{1}}=I_{in}}$

Já a corrente média no indutor ${\displaystyle L_{2}}$, corresponde à própria corrente média de saída. ^[4]

${\displaystyle I_{L}=I_{o}={\frac {V_{o}}{R}}}$

A corrente média no diodo (${\displaystyle I_{D}}$) pode ser encontrada através de sua integral:

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{T_{s}}}\int _{0}^{(1-D)T_{s}}i_{L_{1}}(t)+i_{L_{2}}(t)\,dt}$

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+I_{L_{1max}}(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+I_{L_{2max}}(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)}$

É possível simplificar a equação substituindo ${\displaystyle V_{C}=V_{S}+V_{o}}$ e deixar em função da ondulação de corrente (${\displaystyle \Delta I_{L}}$), deste modo encontra-se:

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {(-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}(1-D)+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{2}}(1-D)+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=(I_{L_{1}}+I_{L_{2}})(1-D)=(I_{in}+I_{o})(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=\left(I_{o}{\frac {D}{1-D}}+I_{o}\right)(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=I_{o}}$

A corrente média na chave (${\displaystyle I_{sw}}$) também pode ser encontrada pela sua integral:

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{T_{s}}}\int _{0}^{DT_{s}}i_{L_{1}}(t)+i_{L_{2}}(t)\,dt}$

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+I_{L_{1_{min}}}D+{\frac {1}{2}}{\frac {(V_{C}-V_{o})}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+I_{L_{2_{min}}}D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D-{\frac {1}{2}}{\frac {(V_{C}-V_{o})}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D}$

De forma semelhante à realizada para a corrente média no diodo, fazendo as substituições dos termos, deixando em função da ondulção de corrente (${\displaystyle \Delta I_{L}}$), a corrente média na chave pode ser dada por:

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}D+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D+{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{2}}D+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}=(I_{L_{1}}+I_{L_{2}})D=(I_{in}+I_{o})(D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}=\left(I_{o}{\frac {D}{1-D}}+I_{o}\right)D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}=I_{o}{\frac {D}{1-D}}=I_{in}}$

A ondulação de tensão no capacitor de acoplamento pode ser encontrada por meio da variação de carga no capacitor. A variação pode ser determinada através da integral da corrente durante uma das etapa, neste caso optou-se pela segunda etapa, sendo assim a corrente no capacitor é igual à corrente ${\displaystyle i_{L_{1}}}$.

${\displaystyle \Delta Q_{C}=\int _{0}^{(1-D)T_{s}}i_{L_{1}}(t)\,dt}$

${\displaystyle \Delta Q_{C}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C})}{L_{1}}}(1-D)^{2}{T_{s}}^{2}+I_{L_{1_{max}}}(1-D)T_{s}={\frac {1}{2}}{\frac {(-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}{T_{s}}^{2}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)T_{s}}$

${\displaystyle \Delta Q_{C}=-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}(1-D)T_{s}+I_{L_{1}}(1-D)T_{s}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}(1-D)T_{s}}$

${\displaystyle \Delta Q_{C}=I_{L_{1}}(1-D)T_{s}}$

A plicando na equação:

${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {\Delta Q_{C}}{C}}}$

${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {I_{L_{1}}(1-D)T_{s}}{C}}={\frac {I_{in}(1-D)T_{s}}{C}}={\frac {I_{o}{\frac {D}{1-D}}(1-D)T_{s}}{C}}}$

${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {I_{o}DT_{s}}{C}}={\frac {V_{o}D}{RCf_{s}}}}$

Por fim, a ondulação de tensão de saída pode ser determinada da mesma forma como feita para o conversor buck. Desta forma, a ondulação da tensão de saída pode ser encontrada realizando a análise para o caso em que considera-se a maior ondulação de tensão. Este caso ocorre quando a razão cíclica se iguala a meio (${\displaystyle D=0,5}$). A corrente no capacitor é ilustrada na figura.

Neste período se tem que o pico da corrente no capacitor é igual a ${\displaystyle {\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}}$ e o período em que a corrente é positiva no capacitor é igual a ${\displaystyle {\frac {T_{s}}{2}}}$. Sendo assim, a variação de carga no capacitor pode ser dada pela área do gráfico em destaque. Pela área do triângulo obtém-se:

${\displaystyle \Delta Q={\frac {{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}{\frac {T_{s}}{2}}}{2}}={\frac {\Delta I_{L_{2}}T_{s}}{8}}}$

Portanto pela equação

${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {\Delta Q}{C_{o}}}}$

encontra-se

${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {\Delta I_{L_{2}}T_{s}}{8C_{o}}}}$

substituindo ${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}}$: ^[4]

${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {(V_{C}-V_{o})D}{8L_{2}C_{o}{f_{s}}^{2}}}={\frac {V_{o}(1-D)}{8L_{2}C_{o}{f_{s}}^{2}}}}$

Referências

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