Coordenadas cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante, ele pode ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração múltipla. Este sistema foi concebido a partir da definição das coordenadas polares, em segunda instância, pode-se pensar nele como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço tridimensional.^[1]

Basicamente o sistema é composto por um subsistema polar na base de um cilindro circular, as coordenadas são: ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)\,\!}$

Basicamente, a distância da origem à projeção do ponto ${\displaystyle P\,\!}$ sobre a base, que aparece como ${\displaystyle Q\,\!}$, é ${\displaystyle \rho \,\!}$, enquanto que a altura relativa do ponto à base, que aparece como ${\displaystyle {\overline {QP}}\,\!}$, podemos verificar que é ${\displaystyle z\,\!}$.^[1]

Definimos um ponto no espaço através da relação polar da base do cilindro, o que nos fornece as duas primeiras ordenadas, depois adicionamos a altura do ponto em relação a base que é a terceira ordenada. O sentido de rotação do ângulo na base é o mesmo usado para coordenadas polares, o que determina o sinal do ângulo.

Podemos fazer a transformação de uma coordenada retangular em cilíndrica através das relações:

• ${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}\,\!}$
• ${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}}$
• ${\displaystyle z=z\,\!}$

Da mesma forma, podemos definir as relações inversas, que nos dão os parâmetros de uma coordenada retangular a partir de uma coordenada cilíndrica:

• ${\displaystyle x=\rho \cos(\phi )\,\!}$
• ${\displaystyle y=\rho \ {\mbox{sen}}(\phi )\,\!}$
• ${\displaystyle z=z\,\!}$

Aplicação ao cálculo integral

Caso queiramos calcular o integral triplo de uma certa região, usando o sistema de coordenadas cilíndricas, é necessário, além da transformação, multiplicar a função integranda pelo Jacobiano da transformação, neste caso ${\displaystyle \rho }$.

Então:

${\displaystyle \iiint _{Q}f(x,y,z)dxdydz=\iiint _{C}f(\rho \cos(\phi ),\rho \operatorname {sen}(\phi ),z)\rho \ d\rho d\phi dz}$

Ver também

• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas esféricas
• Coordenadas geográficas
• Coordenadas parabólicas
• Coordenadas parabólicas cilíndricas
• Coordenadas hiperbólicas

Referências

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