Coordenadas toroidais

Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos ${\displaystyle F_{1}}$ e ${\displaystyle F_{2}}$ em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio ${\displaystyle a}$ no plano ${\displaystyle xy}$ plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo ${\displaystyle z}$ é o eixo de rotação.

Definição

A definição mais comum das coordenadas toroidais ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ é

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }$

${\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

onde a coordenada ${\displaystyle \sigma }$ de um ponto ${\displaystyle P}$ é igual ao ângulo ${\displaystyle F_{1}PF_{2}}$ e a coordenada ${\displaystyle \tau }$ é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

Transformação inversa

As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$

O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por

${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$

e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por

${\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}$

A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

Fatores de escalas

Os fatores de escala para as coordenadas toroidais ${\displaystyle \sigma }$ e ${\displaystyle \tau }$ são

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

enquanto o fator de escala azimutal é

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }$

e o laplaciano é toma a forma

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}$

Referências

• Byerly, WE. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264-266
• Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. pp. 112–115 
• Andrews, Mark (2006). «Alternative separation of Laplace's equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics». Journal of Electrostatics. 64: 664–672. doi:10.1016/j.elstat.2005.11.005 

Bibliografia

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 666 
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182. LCCN 59-14456 
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 190–192. LCCN 55-10911 
• Moon PH, Spencer DE (1988). «Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd, 3rd revised printing ed. New York: Springer Verlag. pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7 

Ligações externas

• Coordenadas Toroidais no MathWorld