Equação de Binet

A equação de Binet prevê a equação de força central, dada a equação da trajetória em coordenadas polares planas. A equação pode também ser utilizada para obter a forma da órbita para uma determinada lei de forças, mas geralmente isso envolve a solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não-linear. Não existe solução única no caso do movimento circular sobre o centro de força.

A equação

A forma de uma órbita é muitas vezes convenientemente descrita em termos da distância relativa ${\displaystyle r}$ em função do ângulo ${\displaystyle \theta }$. Para a equação de Binet, a trajetória é descrita de forma mais concisa pelo parâmetro ${\displaystyle u=1/r}$ em função de ${\displaystyle \theta }$. Defina o momento angular específico como ${\displaystyle h=L/m}$, onde ${\displaystyle L}$ é o momento angular e ${\displaystyle m}$ a massa. A equação de Binet^[1] é

${\displaystyle F(u)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).}$

Demonstração^[2]

A segunda lei de Newton para o problema de forças centrais é

${\displaystyle F(r)=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}).}$

A conservação do momento angular requer que

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h=constante.}$

As derivadas de ${\displaystyle r}$ em relação ao tempo podem ser reescritas como as derivadas de ${\displaystyle u}$ em relação ao ângulo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Combinando as equações acima, obtemos

${\displaystyle F=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$

Aplicações

O problema de Kepler

O tradicional problema de Kepler da determinação da trajetória para uma lei de forças de quadrado inverso pode ser obtido da equação de Binet como a solução da equação diferencial

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=constante>0.}$

Se o ângulo ${\displaystyle \theta }$ é medido a partir do periélio, então a solução geral para a trajetória, expressa em coordenadas polares é

${\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}$

A equação polar acima descreve uma seção cônica, onde ${\displaystyle l}$ é o semi-latus rectum e ${\displaystyle \varepsilon }$ é a excentricidade da órbita.

A equação relativística nas coordenadas de Schwarzschild é^[3]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}}$,

onde ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz e ${\displaystyle r_{s}}$ é o raio de Schwarzschild. Utilizando a métrica de Reissner-Nordström, obtemos

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}$

Onde ${\displaystyle Q}$ é a carga elétrica e ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ a permissividade do vácuo.

O problema de Kepler inverso

Considere o problema de Kepler inverso. Que tipo de lei da forças produz uma órbita elíptica (ou, de forma mais geral, uma cônica não-circular) em torno de um foco dessa elipse?

Diferenciando duas vezes a equação polar da elipse, obtemos

${\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}$

Assim, a lei de forças é

${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}$

que é a lei do inverso do quadrado das distâncias. Se igualarmos a constante orbital ${\displaystyle h^{2}/l}$ aos valores físicos ${\displaystyle GM}$ ou ${\displaystyle k_{e}q_{1}q_{2}/m}$, obtemos a lei da gravitação universal de Newton ou a lei de Coulomb, respectivamente.

Espirais hiperbólicas

Uma lei da força inversamente proporcional ao cubo das distâncias tem a forma

${\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}$

As formas das órbitas para uma lei do cubo inverso são conhecidas como espirais hiperbólicas. A equação de Binet mostra que as órbitas devem ser soluções da equação

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.}$

A equação diferencial possui três soluções, em analogia com as diferentes secções cônicas do problema de Kepler. Se ${\displaystyle C<1}$, a solução é a epispiral, incluindo o caso degenerado de duas retas quando ${\displaystyle C=0}$. Se ${\displaystyle C=1}$, a solução é a espiral hiperbólica. Se ${\displaystyle C>1}$, a solução é a espiral logarítmica.

Movimento circular fora de eixo

Embora a equação de Binet falha ao fornecer uma única lei de forças para o movimento circular em torno do centro de forças, ela pode fornecer uma lei de forças quando o centro do círculo e o centro de força não coincidem. Considere, por exemplo, uma órbita circular que passa diretamente pelo centro de força. A equação polar para este tipo de órbita circular de diâmetro D é

${\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}$

Diferenciando ${\displaystyle u}$ duas vezes e utilizando a identidade trigonométrica fundamental, obtemos:

${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}$

Assim, a lei de forças é

${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}$

Note que a solução geral do problema inverso, ou seja, a construção das órbitas para uma uma lei de forças de atração proporcional a ${\displaystyle 1/r^{5}}$, é um problema muito mais complicado, já que é equivalente a resolver

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}}$,

que é uma equação diferencial de segunda ordem não-linear.

Ver também

• Quantização de Bohr-Sommerfeld / Órbita relativística
• Problema de forças centrais clássico
• Relatividade geral
• Problema de dois corpos na relatividade geral

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Binet equation», especificamente desta versão.

Referências