Equação de Klein–Gordon

Em mecânica quântica, a equação de Klein–Gordon é a versão relativista da equação de Schrödinger.[1] Algumas vezes chamada de Klein–Fock–Gordon ou Klein–Gordon–Fock.

É a equação de movimento de um campo escalar ou pseudo-escalar quântico. Este campo descreve partículas sem spin. Esta equação não corresponde a uma densidade de probabilidade definida positiva e além disso é de segunda ordem na derivada temporal, o que impede uma interpretação física simples. Ela descreve uma partícula pontual que se propaga nos dois sentidos temporais e a sua interpretação é possível recorrendo à teoria de antipartículas desenvolvida por Feynman e Stueckelberg. Todas soluções da equação de Dirac são soluções da equação de Klein-Gordon, mas o inverso é falso.

A equação

A equação de Klein–Gordon é derivada aplicando o processo de quantização a relação de energia relativística para uma partícula livre:

E 2 = c 2 p → 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=c^{2}{\vec {\textbf {p}}}^{2}+m^{2}c^{4}}

fazendo as identificações padrão p → → − i ℏ ∇ {\displaystyle {\vec {\textbf {p}}}\to -i\hbar \nabla } e E → i ℏ ∂ t {\displaystyle E\to i\hbar \partial _{t}} , em unidades SI se obtém a forma:

1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ϕ − ∇ 2 ϕ + m 2 c 2 ℏ 2 ϕ = 0. {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi -\nabla ^{2}\phi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi =0.}

que também é frequentemente reescrita de forma mais compacta utilizando o operador d'alembertiano ◻ = 1 c 2 ∂ t t − ∇ 2 {\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{tt}-\nabla ^{2}} e em unidades naturais:

( ◻ + m 2 ) ϕ = 0 {\displaystyle \left(\Box +m^{2}\right)\phi =0}

No contexto de Teoria Quântica de Campos, a equação também pode ser derivada aplicando a equação de Euler-Lagrange para campos:

∂ ∂ x μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ x ) ) − ∂ L ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{\mu }x\right)}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=0}

em que a convenção de soma de Einstein está em uso, à seguinte densidade de lagrangiana:

L = 1 2 ( ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − m 2 c 2 ℏ 2 ϕ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{2}\right)} .

Neste contexto, após o processo de segunda quantização, se diz que este campo de Klein-Gordon descreve bósons sem carga, sem spin de massa m.

Versão Complexa

Há uma versão complexa do campo de Klein-Gordon podendo ser derivada da densidade de Lagrangiana:

L = 1 2 ( ∂ μ ϕ ∗ ∂ μ ϕ − m 2 c 2 ℏ 2 ϕ ∗ ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{*}\phi \right)}

satisfazendo:

( ◻ + m 2 c 2 ℏ 2 ) ϕ = 0                         ( ◻ + m 2 c 2 ℏ 2 ) ϕ ∗ = 0 {\displaystyle \left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\phi =0~~~~~~~~~~~~\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\phi ^{*}=0}

A este campo ϕ {\displaystyle \phi } estão associados bósons com carga, sem spin de massa m.[2]

História

A equação foi nomeada em honra dos físicos Oskar Klein e Walter Gordon, que a propuseram no ano de 1927 para descrever electrões relativistas. No entanto, foi mais tarde descoberto que os electrões são partículas com spin e corretamente descritos pela equação de Dirac. A equação de Klein Gordon descreve corretamente partículas escalares como o pião.

Referências

  1. ↑ Florida State University, College of Engineering, Leon van Dommelen, Quantum Mechanics for Engineers, A.14 The Klein-Gordon equation [em linha]
  2. ↑ Shaw G., Mandl F. (1993). Quantum Field Theory. [S.l.]: John Wilson & Sons. pp. 43–50 
  • Portal da ciência
  • Portal da física