Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.
Definição
Em um conjunto aberto , a equação de Laplace é definida por:[1]
onde, denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):
Aqui, a incógnita é uma função de em Uma tal função é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e. e . Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por . Esta notação é motivada pelo fato de que , onde denota o gradiente.
Definição em
Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano , a equação de Laplace toma a forma[2] (em coordenadas cartesianas):
Em coordenadas polares , a equação torna-se:
Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis , e .
Definição em
Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais duplamente diferenciáveis, de variáveis reais , e , tais que:
Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno do domínio , esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:
.
Unicidade
Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se é conexo, e é uma função não-negativa (não-positiva), então é não-negativa (não-positiva) em . Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.[1]
Se é solução do problema de Dirichlet acima, então:[1]
onde, é a normal unitária exterior a e é a derivada normal da função de Green:
Aqui, é a solução fundamental (veja acima) e, para cada , é solução de:
Fórmula de Poisson para a bola
A fórmula de representação acima depende da função de Green . Em alguns casos esta função é conhecida. Se , então:[1]
a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola . De fato, podemos mostrar que se , então:[1]
é solução do problema de Dirichlet no sentido que e:
Problema de Neumann
Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno do domínio , esta é denominada condição de contorno de Neumann:
Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:
Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio e aplicando a primeira identidade de Green:
Referências
↑ abcdefEvans, Lawrence C. (2010). Partial Differential Equations 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821849743
↑Figueiredo, Djairo (1987). Análise de Fourier e equações diferenciais parciais 2 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 8524400269