Equação do sexto grau

Gráfico de uma função de sexto grau.

Equações monovariáveis do sexto grau são equações que podem ser expressas na forma a x 6 + b x 5 + c x 4 + d x 3 + e x 2 + f x + g = 0 {\displaystyle ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0} , onde x {\displaystyle x} é a incógnita, a ; b ; c ; d ; e ; f {\displaystyle a;b;c;d;e;f} e g {\displaystyle g} são coeficientes e a ≠ 0 , {\displaystyle a\neq 0,} pois no contrário a equação teria grau 5.

  • Exemplo:
  1. x 6 + 4 x 5 − 58 x 4 − 148 x 3 + 813 x 2 + 144 x − 756 = 0 , {\displaystyle x^{6}+4x^{5}-58x^{4}-148x^{3}+813x^{2}+144x-756=0,} cujas raízes são: x 1 , 2 = ± 1 , x 3 , 4 = ± 6 , x 5 = 3 {\displaystyle x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm 6,x_{5}=3} e x 6 = − 7 {\displaystyle x_{6}=-7}
  2. x 6 − 3 x 4 + 3 x 2 − 1 = 0 , {\displaystyle x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1=0,} cujas raízes são: x 1 , 2 , 3 = 1 {\displaystyle x_{1,2,3}=1} e x 4 , 5 , 6 = − 1 {\displaystyle x_{4,5,6}=-1}
  3. 28 x 6 + 89 x 5 − 408 x 4 − 616 x 3 + 790 x 2 + 207 x − 90 = 0 , {\displaystyle 28x^{6}+89x^{5}-408x^{4}-616x^{3}+790x^{2}+207x-90=0,} cujas raízes são: x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = 1 4 , x 4 = − 3 7 , x 5 = − 2 {\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=1,x_{3}={\dfrac {1}{4}},x_{4}=-{\dfrac {3}{7}},x_{5}=-2} e x 6 = − 5 {\displaystyle x_{6}=-5}


Toda equação do sexto grau possui exatamente 6 soluções(ou raízes), quer reais, quer complexas.

Pelo teorema de Abel-Ruffini, equações de grau superior a 5 não podem ser, em maioria, resolvidas por radicais, porém existem exceções.

Equação Triquadrática

A equação triquadrática é um exemplo de equação de sexto grau solúvel por radicais, que é expressa na forma:

a x 6 + d x 3 + g = 0 {\displaystyle ax^{6}+dx^{3}+g=0}

que pode ser resolvida utilizando a substituição x = y 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{y}}} , resultando na equação quadrática a y 2 + d y + g , {\displaystyle ay^{2}+dy+g,} cujas raízes são expressas por y = − d ± d 2 − 4 a g 2 a , {\displaystyle y={\dfrac {-d\pm {\sqrt {d^{2}-4ag}}}{2a}},} onde as raízes de x {\displaystyle x} podem ser descobertas de duas maneiras:

Primeiro método: descobrem-se as duas raízes y 1 {\displaystyle y_{1}} e y 2 {\displaystyle y_{2}} , tira-se as raízes cúbicas simples e tem-se x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2 , {\displaystyle x_{2},} divide-se o polinômio por x − x 1 {\displaystyle x-x_{1}} e x − x 2 {\displaystyle x-x_{2}} : a x 6 + d x 3 + g ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) {\displaystyle {\dfrac {ax^{6}+dx^{3}+g}{(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})}}} e obtém-se uma equação quártica, da qual pode-se extrair as últimas 4 raízes.

Segundo método: Após descobrir y 1 {\displaystyle y_{1}} e y 2 {\displaystyle y_{2}} , retira-se as 3 raízes cúbicas de y 1 {\displaystyle y_{1}} e as 3 raízes cúbicas de y 2 {\displaystyle y_{2}} , logo tem-se as 6 raízes de x {\displaystyle x} .

  • Exemplo:
  1. x 6 + 4 x 3 + 1 = 0 , {\displaystyle x^{6}+4x^{3}+1=0,} primeiro se utiliza a fórmula x = y 3 , {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{y}},} logo se tem: y 2 + 4 y + 1 = 0 , {\displaystyle y^{2}+4y+1=0,} onde as raízes de y {\displaystyle y} são dadas por: y = − 4 ± ( 4 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ 1 , {\displaystyle y={\dfrac {-4\pm {\sqrt {(4)^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}}{2\cdot 1}},} que simplificando chegamos em y = − 2 ± 3 {\displaystyle y=-2\pm {\sqrt {3}}} , então x 6 + 4 x 3 + 1 = 0 {\displaystyle x^{6}+4x^{3}+1=0} possui as raízes x 1 , 2 , 3 = − 2 + 3 3 {\displaystyle x_{1,2,3}={\sqrt[{3}]{-2+{\sqrt {3}}}}} e x 4 , 5 , 6 = − 2 − 3 3 {\displaystyle x_{4,5,6}={\sqrt[{3}]{-2-{\sqrt {3}}}}}

Equação Bicúbica

A equação bicúbica é uma equação de sexto grau no formato a x 6 + c x 4 + e x 2 + g = 0 {\displaystyle ax^{6}+cx^{4}+ex^{2}+g=0} e pode-se usar a substituição de x = y , {\displaystyle x={\sqrt {y}},} onde a equação se transforma em a y 3 + c y 2 + e y + g = 0 , {\displaystyle ay^{3}+cy^{2}+ey+g=0,} que é uma cúbica resolvente, onde após achadas as raízes, pode-se tirar suas raízes quadradas tal que: x 1 , 2 = ± y 1 , x 3 , 4 = ± y 2 {\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {y_{1}}},x_{3,4}=\pm {\sqrt {y_{2}}}} e x 5 , 6 = ± y 3 . {\displaystyle x_{5,6}=\pm {\sqrt {y_{3}}}.}


  • Exemplo: x 6 − 14 x 4 + 49 x 2 − 36 = 0 , {\displaystyle x^{6}-14x^{4}+49x^{2}-36=0,} utiliza-se a substituição x = y , {\displaystyle x={\sqrt {y}},} que transforma a equação em y 3 − 14 y 2 + 49 y − 36 = 0 , {\displaystyle y^{3}-14y^{2}+49y-36=0,} pela variação de sinais percebe-se que y {\displaystyle y} possui raízes positivas, pelo teorema das raízes racionais, há haver raízes inteiras, estas apenas poderão ser ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 9 , ± 18 {\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 9,\pm 18} e ± 36. {\displaystyle \pm 36.} Com a substituição, tem-se que apenas 1 , 4 {\displaystyle 1,4} e 9 {\displaystyle 9} são soluções de y . {\displaystyle y.} Com isso temos que x = ± y , {\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}},} logo a equação x 6 − 14 x 4 + 49 x 2 − 36 = 0 {\displaystyle x^{6}-14x^{4}+49x^{2}-36=0} possui as raízes x 1 , 2 = ± 1 , x 3 , 4 = ± 2 {\displaystyle x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm 2} e x 5 , 6 = ± 3. {\displaystyle x_{5,6}=\pm 3.}
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