Espaço compacto

Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, enumeravelmente compacto (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, Kuratowski, Sierpiński e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje (Alexandrof e Urysohn - 1923).

Definição e Equivalências

Um recobrimento para um conjunto $X$ é uma coleção ${\mathcal {R}}$ de subconjuntos de $X$ tal que $\bigcup {\mathcal {R}}=X$ . Um subrecobrimento de ${\mathcal {R}}$ é uma coleção ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {R}}$ que também é um recobrimento de $X$ , i.e. $\bigcup {\mathcal {S}}=X$ .

Diz-se que um espaço topológico $X$ é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer recobrimento por abertos de $X$ admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a Espaço Hausdorff é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.

Uma família ${\mathcal {F}}$ de subconjuntos de um conjunto $X$ possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, p.i.f.) se, para qualquer ${\mathcal {F}}_{0}\subseteq {\mathcal {F}}$ finita, verificar $\bigcap {\mathcal {F}}_{0}\neq \emptyset$ . É passivo de verificação que, um espaço topológico $X$ é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de $X$ com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.

Uma base para um espaço topológico $X$ é uma coleção de abertos ${\mathcal {A}}$ de $X$ tal que, para qualquer aberto $U\subseteq X$ , existe ${\mathcal {B}}_{U}\subseteq {\mathcal {B}}$ tal que $U=\bigcup {\mathcal {B}}_{U}$ . Uma subbase para $X$ é uma coleção ${\mathcal {S}}$ não-vazia de abertos desse espaço tal que

\left\{\bigcap {\mathcal {S}}_{0}:{\mathcal {S}}_{0}\subseteq {\mathcal {S}}{\text{ e }}{\mathcal {S}}_{0}{\text{ é finita e não-vazia}}\right\}

é uma base de $X$ . É um resultado devido a James Waddell Alexander II que um espaço topológico $X$ é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer recobrimento de $X$ por abertos de uma subbase desse espaço admitir um subrecobrimento finito.

Se $X$ é um espaço topológico, diz-se que um ponto $x\in X$ é um ponto de acumulação total de um subconjunto $A\subseteq X$ se, dada qualquer vizinhança $U\subseteq X$ de $x$ , $|A\cap U|=|A|$ . É um resultado devido a Vietoris, Kuratowski, Sierpinski, Alexandroff e Urysohn que as seguintes afirmações são equivalentes

$X$ é compacto;
Qualquer subconjunto infinito de $X$ possui um ponto de acumulação completo;
Dada qualquer sequência transfinita $\subseteq$ -decrescente $\langle F_{\lambda }\rangle _{\lambda <\alpha }$ de fechados não-vazios de $X$ , a intersecção $\bigcap _{\lambda <\alpha }F_{\lambda }$ é não-vazia.

É um resultado devido a Kuratowski, Mrówka e Bourbaki que as seguintes afirmações, acerca do espaço $X$ , são equivalentes:

X é (quase-)compacto;
Para qualquer espaço $Y$ a projeção $p:X\times Y\to Y$ é fechada;
Para qualquer espaço normal $Y$ a projeção $p:X\times Y\to Y$ é fechada.

Em termos de convergência em um espaço Hausdorff $X$ , é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:

$X$ é (quase-)compacto;
Qualquer filtro em $X$ admitir um ponto de acumulação;
Qualquer rede em $X$ admitir um ponto de acumulação.

Exemplos

Qualquer espaço finito é quase-compacto;
Qualquer espaço carregando topologia cofinita é quase-compacto.
A topologia de ordem direita e a topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado são (quase-)compactas.
Qualquer conjunto fechado e limitado de um espaço euclididano ( $\mathbb {R} ^{n}$ ) é compacto.^[1]
Qualquer compacto da Reta de Sorgenfrey é enumerável.

Propriedades

Qualquer fechado em espaço quase-compacto é quase-compacto;
Qualquer compacto é um espaço normal;
Todo subspaço compacto de um espaço Hausdorff é fechado;
Uma imagem contínua de espaços compactos é compacto.
Toda bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço Hausdorff é um homeomorfismo;
A união finita de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
(Teorema de Tychonoff) O produto qualquer de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
Toda função contínua de $\mathbb {R} ^{n}$ em $\mathbb {R} ^{m}$ definida num compacto é uniformemente contínua.^[2]

Ver também

Espaço sequencialmente compacto
Espaço enumeravelmente compacto
Paracompacidade
Espaço de Lindelöf
Compactificação

Referências

↑ Lima 1981, p. 43.
↑ Lima 1981, p. 46, Teorema 21.

Bibliografia

Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada

Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.

Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).

Kelley, John L. (1975). General Topology. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6

Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .
Alexandrov, Pavel; Urysohn, Pavel (1929), «Mémoire sur les espaces topologiques compacts», Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the section of mathematical sciences, 14 .
Arkhangel'skii, A.V.; Fedorchuk, V.V. (1990), «The basic concepts and constructions of general topology», in: Arkhangel'skii, A.V.; Pontrjagin, L.S., General topology I, ISBN 978-0-387-18178-3, Encyclopedia of the Mathematical Sciences, 17, Springer .
Arkhangel'skii, A.V. (2001), «Compact space», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer .
Bolzano, Bernard (1817), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege, Wilhelm Engelmann (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).
Borel, Émile (1895), «Sur quelques points de la théorie des fonctions», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 3, 12: 9–55, JFM 26.0429.03
Boyer, Carl B. (1959), The history of the calculus and its conceptual development, New York: Dover Publications, MR 0124178 .
Arzelà, Cesare (1895), «Sulle funzioni di linee», Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat., 5 (5): 55–74 .
Arzelà, Cesare (1882–1883), «Un'osservazione intorno alle serie di funzioni», Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142–159 .
Ascoli, G. (1883–1884), «Le curve limiti di una varietà data di curve», Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., 18 (3): 521–586 .
Fréchet, Maurice (1906), «Sur quelques points du calcul fonctionnel», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 22 (1): 1–72, doi:10.1007/BF03018603 .
Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1976), Rings of continuous functions, Springer-Verlag .
Kelley, John (1955), General topology, Graduate Texts in Mathematics, 27, Springer-Verlag .
Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, ISBN 978-0-19-506136-9 3rd ed. , Oxford University Press (publicado em 1990) .
Lebesgue, Henri (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars .
Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, ISBN 978-0-691-04490-3, Princeton University Press, MR0205854 .
Scarborough, C.T.; Stone, A.H. (1966), «Products of nearly compact spaces», Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 124, No. 1, Transactions of the American Mathematical Society, 124 (1): 131–147, JSTOR 1994440, doi:10.2307/1994440 .
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology, ISBN 978-0-486-68735-3 Dover reprint of 1978 ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 507446