Espaço topológico quociente

Em topologia, um espaço topológico quociente, X, é definido como, dado uma relação de equivalência, ~, o espaço topológico \(([X], \tau)\), onde \([X]\) denota as classes de equivalencia de X e \tau={U \subset 2^[X]| \união_{[x] \in U} x é aberto em X}.

O quociente de um espaço topológico X por uma relação de equivalência ~ é o conjunto X/~ das classes de equivalência munido da topologia (chamada topologia quociente) cujos abertos são os conjuntos de classes cuja reunião é um aberto de X.

Exemplos

• O quociente de ${\displaystyle [0,1]\!}$ pela relação ${\displaystyle x\sim y}$ se ${\displaystyle |x-y|\in \{0,1\}}$ é homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$.
• O quociente de ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]\!}$ pela relação de equivalência gerada por ${\displaystyle (x,0)\sim (x,1)\,\!}$ e ${\displaystyle (0,y)\sim (1,y)\,\!}$, para ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ é homeomorfo ao toro ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ que por sua vez é homeomorfo à ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$.
• O processo acima, que cola as bordas do quadrado de forma direta, pode ser feito de modo a torcer o quadrado. Assim, a relação de equivalência gerada por ${\displaystyle (x,0)\sim (1-x,1)\,\!}$ e ${\displaystyle (0,y)\sim (1,1-y)\,\!}$, para ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ gera o plano projectivo, enquanto que a relação de equivalência gerada por ${\displaystyle (x,0)\sim (1-x,1)\,\!}$ e ${\displaystyle (0,y)\sim (1,y)\,\!}$, para ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ gera a garrafa de Klein.

Referências

• Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .

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