Fator de forma

O fator de forma é uma característica intrínseca de uma distribuição de carga e, é usada na análise espacial da difração, ou espalhamento elástico, de fótons em cristais. Tecnicamente, é o quadrado da transformada de Fourier da distribuição de carga do alvo de espalhamento.[1]

Difração em cristais

Se a densidade eletrônica é uma função periódica através do cristal,

n ( r + T ) = n ( r ) {\displaystyle n(\mathbf {r} +\mathbf {T} )=n(\mathbf {r} )} ,

n pode ser analisada por Fourier:

n ( r ) = ∑ G exp ⁡ ( i G ⋅ r ) {\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }\exp {(i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )}} ,

onde G são os vetores da rede recíproca.

Os vetores da rede recíproca determinam no espaço as reflexões possíveis do referido cristal, e a amplitude da onda espalhada F é proporcional à integral volumétrica da concentração eletrônica local
n(r) vezes o fator de fase

exp ⁡ ( i ( k − k ′ ) ⋅ r ) {\displaystyle \exp {(i(\mathbf {k} -\mathbf {k'} )}\cdot \mathbf {r} )}

onde k e k´ são os vetores de onda incidente e difratada.

F = ∫ d V n ( r ) exp ⁡ ( i Δ k ⋅ r ) {\displaystyle \mathbf {F} =\int dVn(\mathbf {r} )\exp {(i\Delta \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}} ,

ou, usando a expansão de Fourier de n(r),

F = ∑ G ∫ d V n G exp ⁡ ( i ( G − Δ k ) ⋅ r ) {\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{\mathbf {G} }\int dVn_{\mathbf {G} }\exp {(i(\mathbf {G} -\Delta \mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} )}} .

Em algum Δk = G (condição de difração satisfeita), para um cristal de N células, a amplitude espalhada

F G = N ∫ d V n ( r ) exp ⁡ ( − i G ⋅ r ) = N S G {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {G} }=N\int dVn(\mathbf {r} )\exp {(-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )}=NS_{\mathbf {G} }} ,

aí a integral percorre uma célula.

SG assim definido é o fator de estrutura. A integral é tomada sobre a célula com r = 0 sendo a origem desta. Escrevendo n(r) pela superposição das concentrações eletrônicas nj associadas a cada átomo j, localizado em rj,

n ( r ) = ∑ j = 1 s n j ( r − r j ) {\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{j=1}^{s}n_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})}

sobre os s átomos da base, o fator de estrutura passa a ser escrito por

S G = ∑ j = 1 s ∫ d V n j ( r − r j ) exp ⁡ ( − i G ⋅ r ) {\displaystyle S_{\mathbf {G} }=\sum _{j=1}^{s}\int dVn_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})\exp {(-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} )}}

= ∑ j = 1 s exp ⁡ ( − i G ⋅ r j ) ∫ d V n j ( r − r j ) exp ⁡ ( − i G ⋅ ( r − r j ) ) {\displaystyle =\sum _{j=1}^{s}\exp {(-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} _{j})}\int dVn_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})\exp {(-i\mathbf {G} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j}))}}

Assim define-se o fator de forma fj da núvem eletrônica do j-ésimo átomo da célula em rj,

f j = ∫ d V n j ( r − r j ) exp ⁡ ( − i G ⋅ ( r − r j ) ) {\displaystyle f_{j}=\int dVn_{j}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j})\exp {(-i\mathbf {G} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{j}))}}

com a integral tomada em todo o espaço para conter a núvem eletrônica plenamente.[1][2]

Referências

  1. ↑ Harrison, Walter Ashley (1999). Elementary Electronic Structure (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789810238964 
  2. ↑ Kittel, Charles (1986). Introduction to Solid State Physics. [S.l.]: John Wiley & Sons. Consultado em 5 de janeiro de 2019 
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