Função digama

Função digama ψ ( s ) {\displaystyle \psi (s)} no plano complexo. A cor de um ponto s {\displaystyle s} representa o valor de ψ ( s ) {\displaystyle \psi (s)} . Cores fortes representam valores próximos de zero e matizes representam os valores de argumento.

Em matemática, as funções poligama são definidas como a n-ésima derivada da função psi, que é a derivada logarítmica da função gama:[1]

ψ ( n ) = ( d / d x ) n ψ ( x ) = ( d / d x ) n + 1 ln ⁡ Γ ( x ) {\displaystyle \psi ^{(n)}=(d/dx)^{n}\psi (x)=(d/dx)^{n+1}\ln {\Gamma (x)}\,}

A função digama também é chamada de função Psi.[2]

Relação com os números harmônicos

A função digama está relacionada com os números harmônicos H n = 1 + 1 2 + … 1 n {\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+\ldots {\frac {1}{n}}\,} por:

Ψ ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle \Psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}

em que γ é a constante de Euler-Mascheroni. Para valores semi-inteiros, os valores da função digama são:

Ψ ( n + 1 2 ) = − γ − 2 ln ⁡ 2 + ∑ k = 1 n 2 2 k − 1 {\displaystyle \Psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}

Referências

  1. ↑ GNU Scientific Library, Reference Manual, 7.28 Psi (Digamma) Function [em linha]
  2. ↑ GNU Scientific Library, Reference Manual, 7.28.1 Digamma Function [em linha]

Bibliografia

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. Ver seção §6.4

Ligações externas

  • Weisstein, Eric W., "Digamma function" em MathWorld. (em inglês)
  • Portal da matemática