Função racional

Em matemática, uma função racional é qualquer função que pode ser expressa como uma razão (quociente) de polinômios, i.e. uma fração algébrica[1]. Para uma simples variável x {\displaystyle x} , uma típica função racional é, portanto:[2]

Gráfico de 1/x, um exemplo de função racional.

f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}

As funções racionais são classificadas em próprias, se o grau do polinômio do numerador for inferior ao grau do polinômio do denominador, e impróprias, se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador.

  • Exemplos de funções racionais próprias:

( 4 s − 1 s 2 + s − 2 ) {\displaystyle \left({\frac {4s-1}{s^{2}+s-2}}\right)}

( 5 x − 7 3 x 3 + 2 x − 5 ) {\displaystyle \left({\frac {5x-7}{3x^{3}+2x-5}}\right)}

  • Exemplos de funções racionais impróprias:

( 2 y 3 − 3 y y 2 − 5 y + 6 ) {\displaystyle \left({\frac {2y^{3}-3y}{y^{2}-5y+6}}\right)}

( 3 s 2 + 4 s − 1 s 2 + s − 2 ) {\displaystyle \left({\frac {3s^{2}+4s-1}{s^{2}+s-2}}\right)} [3]

Assíntotas

Ver artigo principal: Assintota

Assíntotas verticais

O gráfico da função racional f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}} terá uma assíntota vertical em x = a {\displaystyle x=a} se algum dos limites lim x → a ± f ( x ) = ± ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{\pm }}f(x)=\pm \infty } se verifica. Tal função f ( x ) {\displaystyle f(x)} pode ter múltiplas assíntotas verticais na forma x = a {\displaystyle x=a} para todos os valores de a {\displaystyle a} que validem Q ( x ) = 0 {\displaystyle Q(x)=0} e não sejam descontinuidades removíveis (descontinuidade em um ponto apenas)[4].

Assíntota horizontal

O gráfico da função racional f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}} terá uma assíntota horizontal em y = b {\displaystyle y=b} se algum dos limites lim x → ± ∞ f ( x ) = b {\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=b} se verifica[4].

Seja m {\displaystyle m} o grau do polinômio P ( x ) {\displaystyle P(x)} e n {\displaystyle n} o grau do polinômio Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} , podemos ter três situações:

  • f ( x ) {\displaystyle f(x)} terá uma assíntota horizontal em y = b {\displaystyle y=b} se m = n {\displaystyle m=n} .
  • f ( x ) {\displaystyle f(x)} terá uma assíntota horizontal em y = 0 {\displaystyle y=0} se m < n {\displaystyle m<n} .
  • f ( x ) {\displaystyle f(x)} não terá uma assíntota horizontal se m > n {\displaystyle m>n} .

Referências

  1. ↑ «Definition of RATIONAL FUNCTION». www.merriam-webster.com (em inglês). Consultado em 25 de setembro de 2020 
  2. ↑ Bizelli 2019.
  3. ↑ Almeida, Luís Borges (Março de 2012). «Decomposição em Frações Simples» (PDF). ISR - Instituto de Sistemas e Robótica | Lisboa. Consultado em 25 de setembro de 2020 
  4. ↑ a b «Funções Racionais». www.educ.fc.ul.pt. Instituto de Educação - Universidade de Lisboa. 2000. Consultado em 25 de setembro de 2020 

Bibliografia

  • Bizelli, Maria Helena S. S. (2019). «Função Racional...». UNESP 

Ver também

  • Portal da matemática