Ideal principal

Na teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, um ideal principal é um ideal que é gerado por um elemento.[1]

No caso mais geral de um anel não-comutativo R, temos:

  • um ideal principal à esquerda é um ideal R a = r a | r ∈ R {\displaystyle Ra={ra|r\in R}\,}
  • um ideal principal à direita é um ideal a R = a r | r ∈ R {\displaystyle aR={ar|r\in R}\,}
  • um ideal principal bilateral é um ideal I = e 1 a d 1 + e 2 a d 2 + … + e n a d n | e 1 , d 1 , e 2 , d 2 , … , e n , d n ∈ R {\displaystyle I={e_{1}ad_{1}+e_{2}ad_{2}+\ldots +e_{n}ad_{n}|e_{1},d_{1},e_{2},d_{2},\ldots ,e_{n},d_{n}\in R}\,}

No caso comutativo, um ideal principal é um conjunto da forma a R = a r | r ∈ R {\displaystyle aR={ar|r\in R}\,}

Em Z {\displaystyle \mathbb {Z} \,} , é fácil mostrar que todo ideal é um ideal principal, porém esta propriedade não é válida em geral. Um contra-exemplo simples é o ideal gerado por {2, x} no domínio de integridade Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]\,} , dos polinômios de coeficientes inteiros.

Referências

  1. ↑ Rings, no site do Department of Mathematical Sciences da Northern Illinois University, baseado no texto de Beachy/Blair, Abstract Algebra, 2nd Ed., © 1996
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