Lista de propriedades da transformada de Laplace

A Transformada de Laplace apresenta uma variedade de propriedades operacionais.^[1] A lista a seguir mostra alguma delas:

Linearidade^[2]

A transformada de Laplace é uma transformação linear, ou seja,

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\Omega \ f(t)+\Xi \ g(t)\}=\Omega \ {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\Xi \ {\mathcal {L}}\{g(t)}\}$

Sempre que cada uma das transformadas existirem. A transformada se comporta dessa forma devido a propriedade de linearidade da integral.

Demonstração:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\Omega \ f(t)+\Xi \ g(t)\}=\int \limits _{0}^{\infty }{(\Omega f(t)+\Xi g(t)e^{-st})dt}}$

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }{(\Omega f(t)e^{-st})dt}\ \ +\ \int \limits _{0}^{\infty }{(\Xi g(t)e^{-st})dt}}$

${\displaystyle =\Omega \int \limits _{0}^{\infty }{(f(t)e^{-st})dt}\ \ +\ \ \Xi \int \limits _{0}^{\infty }{(g(t)e^{-st})dt}}$

${\displaystyle =\Omega {\mathcal {L}}\{f(t)\}+\Xi \ {\mathcal {L}}\{g(t)\}}$

Observação: A transformada inversa de Laplace também é uma transformação linear, ou seja,

${\displaystyle {\mathcal {L^{-1}}}\{\Omega \ F(s)+\Xi \ G(s)\}={\mathcal {L^{-1}}}{\{\Omega {\mathcal {L}}\{f(t)}\}+\Xi {\mathcal {L}}\{g(t)\}\}}$

${\displaystyle ={\mathcal {L^{-1}}}{\{{\mathcal {L}}\{\Omega f(t)}+\Xi g(t)\}\}}$

${\displaystyle =\Omega f(t)+\Xi g(t)}$

Transformada de Laplace de uma derivada^[2]

Se ${\displaystyle {f(t)}}$ é contínua e de ordem exponencial e ${\displaystyle f'(t)}$ é contínua por partes para ${\displaystyle t\geq 0}$, então

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\dot {f}}(t)\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)}$

Se ${\displaystyle {f(t)}}$ e ${\displaystyle f'(t)}$ são contínuas e ${\displaystyle f''(t)}$é contínua por partes. Então podemos aplicar a expressão acima duas vezes e obter:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\ddot {f}}(t)\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-{\dot {f}}(0)}$

Analogamente, se ${\displaystyle {f(t)}}$, ${\displaystyle f'(t)}$ , ... , ${\displaystyle f^{(n-1)}(t)}$são contínuas e ${\displaystyle f^{(n)}(t)}$ é contínua por partes, então:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=\ &s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}{\dot {f}}(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\\=\ &s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-\sum _{k=0}^{n-1}s^{n-1-k}f^{(k)}(0)\end{aligned}}}$

Demonstração:

Seja

e, utilizando o método da Integração por partes, onde ${\displaystyle u=e^{-st}}$ e ${\displaystyle dv={\dot {f}}(t)}$ temos considerando ${\displaystyle s>0}$ e utilizando a definição de Transformada de Laplace chegamos em:

$${\displaystyle 0-f(0)+sF(s)}$$

^[3]

Transformada de Laplace de uma integral

Se ${\displaystyle {F(s)}}$ é a transformada de Laplace de uma função contínua por partes ${\displaystyle {f(t)}}$, então ${\displaystyle {\int _{0}^{t}f(\tau )\operatorname {d\tau } \!}}$ é a transformada inversa de ${\displaystyle {\frac {F(s)}{s}}}$.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\operatorname {d} \!\tau \right\}={\frac {{\mathcal {L}}\{f(t)\}}{s}}\equiv {\frac {F(s)}{s}}}$

Demonstração: Seja ${\displaystyle g(t)={\int _{0}^{t}f(\tau )\operatorname {d} \!\tau }}$. Então, ${\displaystyle {g'(t)=f(t)}}$. Aplicamos a propriedade da transformada da derivada e temos:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{g'(t)\}=s{\mathcal {L}}\{f(g)\}-g(0)}$

Usando o fato que ${\displaystyle {g(0)=0}}$, temos

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\operatorname {d} \!\tau \right\}={{\mathcal {L}}\{g(t)}\}}$

${\displaystyle ={\frac {{\mathcal {L}}\{g'(t)\}}{s}}}$

${\displaystyle ={\frac {{\mathcal {L}}\{f(t)\}}{s}}}$

${\displaystyle ={\frac {F(s)}{s}}}$

Deslocamento no tempo

Estas funções podem representar sinais "liga/desliga" - como a função pulso, onde uma determinada função pode surgir num determinado tempo e, logo após, voltar a ser nula e/ou ser alterada.

A função pulso é definida por: ${\displaystyle f_{p}(t)={\begin{cases}0,&t<a\\1,&a<t<b\\0,&t>b\end{cases}}}$

A função degrau unitário, ou função de Heaviside. é definida assim

${\displaystyle u(t-a)={\begin{cases}0,\,t\leq a\\1,\,t>a\end{cases}}}$ Consequentemente, o produto:

${\displaystyle u(t-a)f(t-a)}$

é a função f(t) deslocada uma distância a no sentido positivo do eixo do tempo t , sendo nula para t < a. Sendo assim tem-se o seguinte;

Definição: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{u(t-a)f(t-a)\right\}=e^{-as}F(s),}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

e a inversa: ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=u(t-a)f(t-a)}$

Demonstração: Aplica-se diretamente a transformada de Laplace de ${\displaystyle u(t-a)f(t-a)}$ e usa-se a propriedade aditiva de integrais

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{u(t-a)f(t-a)\right\}=\int \limits _{0}^{\infty }f(t-a)u(t-a)e^{-st}dt=\int \limits _{0}^{a}f(t-a)u(t-a)e^{-st}dt+\int \limits _{a}^{\infty }f(t-a)u(t-a)e^{-st}dt}$

usando o fato de que ${\displaystyle u(t-a)={\begin{cases}0,&{0\leq t<a}\\1,&{t\geq a}\end{cases}}}$, tem-se:

${\displaystyle =\int \limits _{a}^{\infty }f(t-a)e^{-st}dt}$. Agora faz-se a mudança de variável ${\displaystyle v=t-a}$ na integral e altera-se os limites de integração novamente:

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(v)e^{-s(v+a)}dv=e^{-as}\int \limits _{0}^{\infty }f(v)e^{-sv}dv}$, que é a definição de transformada de Laplace.

e concluímos que: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{u(t-a)f(t-a)\right\}=e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}=e^{-as}F(s)}$

Isto é, quando a função é deslocada a unidades no sentido positivo do tempo t , a sua representação no domínio das frequências fica multiplicada por ${\displaystyle e^{-as}}$ . Essa propriedade é útil para calcular transformadas de funções com descontinuidades.

Deslocamento na frequência

Conhecida como deslocamento ou translação do eixo s, é possível conhecer a transformada de múltiplos exponenciais de uma função ${\displaystyle f}$ desde que conheçamos a sua transformada, isto é:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a),}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$,

ou

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{at}f(t)}$

Demonstração: Faz-se a aplicação direta da definição de transformada de Laplace de ${\displaystyle F(s-a)}$:

${\displaystyle F(s-a)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-(s-a)t}dt}$${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{at}e^{-st}dt={\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}}$

Exemplo 1: Calculemos a transformada de Laplace de ${\displaystyle f(t)=e^{at}t}$:

Usando a definição de transformada calcula-se

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{t\right\}={1 \over s^{2}}=F(s).}$

Aplicando a propriedade da translação tem-se

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}t\right\}=F(s-a)={1 \over {(s-a)^{2}}},}$ ${\displaystyle s>a}$

Exemplo 2: Analogamente é possível calcular a transformada de Laplace de ${\displaystyle senh(2t)cos(t)}$:

Primeiro escreve-se Seno hiperbólico na sua forma exponencial

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{e^{2t}-e^{-2t} \over {2}}cos(t)\right\}}$

Assim, pela propriedade da Linearidade, pode-se colocar ${\displaystyle {1 \over 2}}$ em evidência,tem-se

${\displaystyle {1 \over {2}}{\mathcal {L}}\left\{{e^{2t}cos(t)-e^{-2t}}cos(t)\right\}}$

Então aplica-se a propriedade da translação do eixo s

${\displaystyle {1 \over {2}}{\mathcal {L}}\left\{{e^{2t}cos(t)-e^{-2t}}cos(t)\right\}={1 \over 2}{\biggl (}{s-2 \over (s-2)^{2}+1}-{s+2 \over (s+2)^{2}+1}{\biggr )}}$

Teorema de Convolução

A convolução é uma operação que permite relacionar algumas funções com a transformada inversa do produto das suas transformações.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\rightarrow \ \ f(t)*g(t)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\operatorname {d} \!\tau \\&\rightarrow \ \ {\mathcal {L}}\{f(t)\ g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}*{\mathcal {L}}\{g(t)\}\\&\rightarrow \ \ {\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)\ G(s)\end{aligned}}}$

Demostração: Partimos da definição das transformadas:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$ e ${\displaystyle G(s)={\mathcal {L}}\{g(\tau )\}=\int _{0}^{\infty }g(\tau )e^{-s\tau }\,d\tau }$

Logo,

${\displaystyle F(s)G(s)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\int \limits _{0}^{\infty }g(\tau )e^{-s\tau }dt}$

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\int \limits _{0}^{\infty }g(\tau )e^{-s(t+\tau )}d\tau dt}$

Mantemos ${\displaystyle t}$ fixo e fazemos a mudança de variável  ${\displaystyle v=t+\tau }$para obter:

${\displaystyle F(s)G(s)=\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\int \limits _{t}^{\infty }g(v-t)e^{-sv}dvdt}$

Mudamos a ordem de integração na região que é a metade inferior do primeiro quadrante: em vez de variar ${\displaystyle v}$ em ${\displaystyle {[t,\infty ]}}$ depois ${\displaystyle t}$ em ${\displaystyle {[0,\infty ]}}$ primeiro vamos variar ${\displaystyle t}$ em ${\displaystyle {[0,v]}}$, depois ${\displaystyle v}$ em ${\displaystyle {[0,\infty ]}}$, ou seja

${\displaystyle F(s)G(s)=\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{v}f(t)g(v-t)e^{-sv}dtdv}$

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }{\biggl (}\int \limits _{0}^{v}f(t)g(v-t)dt{\biggr )}e^{-sv}dv}$

${\displaystyle =\int \limits _{0}^{\infty }(f*g)e^{-sv}dv}$

${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{f*g\}}$

Transformada de Laplace de uma função de período T

Se f(t) é uma função contínua por partes, de ordem exponencial e periódica de período T. Então a transformada de Laplace existe e é da forma

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$

Demonstração: Aplicando a definição e separando a integral nos períodos da função f(t) para obter:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}$

${\displaystyle =\int _{0}^{T}f(t)e^{-st}dt+\int _{T}^{2T}f(t)e^{-st}dt+\int _{2T}^{3T}f(t)e^{-st}dt+...}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{nT}^{(n+1)T}f(t)e^{-st}dt.}$

Fazendo a mudança de variável ${\displaystyle \tau =t-nT}$ e obtêm-se

${\displaystyle {\mathcal {L}}{\{f(t)\}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{T}f(\tau +nT)e^{-s(\tau +nT)}d\tau }$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-snT}\int _{0}^{T}f(\tau +nT)e^{-s\tau }d\tau }$

Usando o fato que a função é periódica, ou seja, ${\displaystyle f(\tau +nT)\equiv f(\tau )}$, se tem:

${\displaystyle {\mathcal {L}}{\{f(t)\}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-snT}\int _{0}^{T}f(\tau )e^{-s\tau }d\tau }$

${\displaystyle ={\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }(e^{-sT})^{n}{\Bigr )}\int _{0}^{T}f(\tau )\ e^{-sT}d\tau }$

${\displaystyle =\int _{0}^{T}f(\tau )e^{-sT}d\tau \left[{\frac {1}{1-e^{-sT}}}\right]}$

${\displaystyle ={\frac {1}{1-e^{-sT}}}\int _{0}^{T}f(\tau )e^{-sT}d\tau ,}$

onde usa-se a soma de uma série geométrica de razão ${\displaystyle e^{-sT}}$.

As funções periódicas aparecem com frequência representando forças externas em sistemas mecânicos e elétricos.

Derivada da transformada de Laplace

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{tf(t)\right\}=-{\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!s}F(s)}$

Dada uma função ${\displaystyle {f(t)}}$, podemos escrever que ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$, e temos então:

${\displaystyle {{\frac {d}{ds}}F(s)={\frac {d}{ds}}\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}}$

E pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

${\displaystyle {{\frac {d}{ds}}F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t){\frac {d}{ds}}e^{-st}dt}}$

${\displaystyle {{\frac {d}{ds}}F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)(-t)e^{-st}dt}}$

${\displaystyle {{\frac {d}{ds}}F(s)=-\int _{0}^{\infty }tf(t)e^{-st}dt}}$

${\displaystyle {{\frac {d}{ds}}F(s)=-{\mathcal {L}}\left\{tf(t)\right\}}}$ ^[4]

Integral da transformada de Laplace^[5]

Se ${\displaystyle F(s)}$ é a transformação de Laplace de ${\displaystyle f(t)}$ e ${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int \limits _{t}^{1}{\frac {f(\tau )}{\tau }}d\tau }$ existe então :

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(v)\operatorname {d} \!v}$

Demonstração:

${\displaystyle {\mathcal {\int }}_{s}^{\infty }F(v)\operatorname {d} v=\int _{s}^{\infty }{\bigg (}\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-vt}\operatorname {d} t{\bigg )}\ \operatorname {d} v}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }f(t){\bigg (}\int _{s}^{\infty }e^{-vt}\operatorname {d} v{\bigg )}\operatorname {d} t=\int _{0}^{\infty }f(t){\bigg [}{\frac {e^{-vt}}{-t}}{\bigg ]}{\Biggr |}_{s}^{\infty }\operatorname {d} t}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }f(t){\bigg [}{\frac {e^{-\infty t}-e^{-st}}{-t}}{\bigg ]}\operatorname {d} t=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\operatorname {d} t}$

${\displaystyle ={\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}}$

Escalamento

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(at)\right\}={1 \over a}\;F\left({s \over a}\right)}$

Valor inicial^[5]

Se F(s) é a transformada de Laplace de uma função f(t) de ordem exponencial c e

${\displaystyle \lim _{t\to 0+}f(t)=L}$,

então

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=L}$.

Demonstração : Usando a definição da Transformada podemos escrever

${\displaystyle sF(s)=s\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}$

${\displaystyle =s\int _{0}^{a}f(t)e^{-st}dt+s\int _{a}^{b}f(t)e^{-st}dt+s\int _{b}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}$

Dessa forma podemos observar que a segunda integral tende a zero quando ${\displaystyle s\longrightarrow \infty }$independente do valor de a e b, pois o fato da função ser de ordem exponencial e contínua por partes implica f(t) limitada em [a,b], ou seja, ${\displaystyle |f(t)|<M}$ e, portanto,

${\displaystyle \mid s\int _{a}^{b}f(t)e^{-st}dt\mid \leq s\int _{a}^{b}\mid f(t)\mid e^{-st}dt}$

${\displaystyle \leq Ms\int _{a}^{b}e^{-st}dt}$

${\displaystyle \leq Ms{\frac {1}{-s}}\left[e^{-st}\right]_{a}^{b}}$

${\displaystyle =M(e^{-sa}-e^{-sb}).}$

A última integral também tende a zero se b for suficientemente grande, pois existem c e M > 0 tal que ${\displaystyle \mid f(t)<Me^{ct}}$ para t>b e, portanto,

${\displaystyle \mid s\int _{b}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\mid \leq s\int _{b}^{\infty }\mid f(t)\mid e^{-st}dt}$

${\displaystyle \leq s\int _{b}^{\infty }\mid f(t)\mid e^{-(s-c)t}dt}$

${\displaystyle \leq Ms{\frac {1}{c-s}}\left[e^{-(s-c)t}\right]_{b}^{\infty }}$

${\displaystyle ={\frac {Ms}{s-c}}(e^{-(s-c)b}).}$

E por fim, para a suficientemente pequeno, f(t) se aproxima de L, pois ${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t)=L}$, ou seja,

${\displaystyle s\int _{0}^{a}f(t)e^{-st}dt\approx s\int _{b}^{\infty }Le^{-st}dt}$

${\displaystyle \approx s{\frac {l}{s}}\left[e^{-st}\right]_{0}^{a}}$

${\displaystyle =L(1-e^{-as})}$

Como ${\displaystyle e^{-as}\rightarrow 0}$ quando ${\displaystyle s\rightarrow \infty }$, então

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=L}$

Valor final

Se ${\displaystyle F(s)}$é a transformada de Laplace de ${\displaystyle f(t)}$ e

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=L}$

então,

${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}sF(s)=L}$

Demonstração^[4]

Usamos a Definição de transformada de Laplace para escrever

${\displaystyle sF(s)=s\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}$

${\displaystyle =s\int _{0}^{a}f(t)e^{-st}dt+s\int _{a}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}$

Observe que a primeira parcela do lado direito tende a zero independentemente do valor de ${\displaystyle a}$.Porém, para ${\displaystyle a}$suficientemente grande, ${\displaystyle f(t)}$se aproxima de ${\displaystyle L}$, pois ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=L}$, ou seja,

${\displaystyle s\int _{a}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\thickapprox s\int _{a}^{\infty }Le^{-st}dt}$

e,

${\displaystyle s\int _{a}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\thickapprox s{\frac {L}{-s}}\left[e^{-st}\right]_{a}^{\infty }=Le^{-as}}$

Como ${\displaystyle e^{-as}\rightarrow 1}$ quando ${\displaystyle s\rightarrow 0}$, então

${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}sF(s)=L}$

Referências