Número de Rayleigh

Em mecânica dos fluidos, o número de Rayleigh para um fluido é um número adimensional associado com os fluxos conduzidos por empuxo (também conhecidos como convecção livre ou convecção natural). Quando o número de Rayleigh é mais baixo que o valor crítico para aquele fluido, a transferência de calor é primariamente na forma de condução; quando excede o valor crítico, a transferência de calor é primariamente na forma de convecção.

O número de Rayleigh, nome dado em homenagem ao matemático e físico inglês John William Strutt, o Lord Rayleigh, é definido como o produto do número de Grashof, que descreve a relação entre flutuabilidade e viscosidade dentro de um fluido, e o número de Prandtl, que descreve a relação entre a difusividade dinâmica e a difusividade térmica. Assim, o número de Rayleigh também pode ser visto como a razão de forças de flutuabilidade e viscosidade multiplicadas pela razão das difusividades térmica e dinâmica.

Para a convecção livre próximo a uma parede vertical, este número é

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} ={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}}$

onde

• x = comprimento característico (neste caso, a distância da bordas)
• Ra_x = número de Rayleigh na posição x
• Gr_x = número de Grashof na posição x
• Pr = número de Prandtl
• g = aceleração devida à gravidade
• T_s = temperatura da superfície (temperatura da parede)
• T_∞ = temperatura quiescente (temperatura do fluido distante da superfície do objeto)
• ν = Viscosidade cinemática
• α = Difusividade térmica
• β = Coeficiente de expansão térmica

No acima, as propriedades do fluido Pr, ν, α e β são valoradas na temperatura de película, a qual é definida como

${\displaystyle T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}}$

Aplicações

Para a maioria dos propósitos em engenharia, o número de Rayleigh é grande, algo em torno de 10⁶ e 10⁸. Em geofísica o número de Rayleigh é de fundamental importância: indica a presença de força de convecção em um fluido tal como o manto da Terra. O manto é um sólido que comporta-se como um fluido sobre escalas de tempo geológico. O número de Rayleigh para o manto da Terra, devido a apenas seu aquecimento interno, Ra_H é dado por

${\displaystyle Ra_{H}={\frac {g\rho _{0}^{2}\beta HD^{5}}{\nu \alpha k}}}$

onde H é a taxa de produção de calor radiogênico, k é a condutividade térmica, e D é a profundidade do manto.^[1]

Um número de Rayleigh para o aquecimento inferior do manto pelo núcleo, Ra_T pode também ser definido:

${\displaystyle Ra_{T}={\frac {\rho _{0}g\beta \Delta T_{sa}D^{3}c}{\nu k}}}$ ^[1]

Onde ΔT_sa é a diferença de temperatura superadiabática entre a temperatura de referência do manto e a fronteira manto-núcleo e c é a capacidade térmica específica, a qual é uma função tanto da pressão quanto da temperatura.

Altos valores para o manto da Terra indica que convecção no interior da Terra é vigorosa e variante no tempo, e esta convecção é responsável por quase todo o calor transportado do interior profundo para a superfície.

Referências

• Geodynamics, D. Turcotte and G. Schubert, 2nd. Ed, 2002

• Portal da matemática