Número imaginário

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$

$\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$

Naturais $\mathbb {N}$
Inteiros $\mathbb {Z}$
Racionais $\mathbb {Q}$
Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$ )
Reais $\mathbb {R}$
Imaginários
Complexos $\mathbb {C}$
Números hiper-reais
Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$
Octoniões $\mathbb {O}$
Sedeniões $\mathbb {S}$
Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões

Em Matemática, um número imaginário é um número complexo com parte real igual a zero, ou seja, um número da forma b i, em que i é a unidade imaginária. Em alguns contextos, exige-se que b seja diferente de zero. O termo foi inventado por René Descartes em 1637 no seu La Géométrie para designar os números complexos em geral, e tem esse nome pelo objetivo inicialmente pejorativo: na época, acreditava-se que tais números não existissem.^[1]

Definição

Todo número complexo pode ser escrito como $a+ib,$ em que $a$ e $b$ são números reais e i é a unidade imaginária com a propriedade que

\mathrm {i} ^{2}=-1

→

i={\sqrt {-1}}

O número $a$ é a parte real do número complexo, e $b$ é a parte imaginária. Apesar de Descartes usar inicialmente o termo "número imaginário" para designar o que atualmente é chamado de "número complexo", o termo hoje em dia significa especificamente um número complexo com parte real igual a $0,$ i.e. um número na forma ib. Note que, tecnicamente, $0$ é considerado um número puramente imaginário: $0$ é o único número complexo que é tanto real como puramente imaginário:

0=0\times {\sqrt {-1}}

Uso

Para alguns pares de estados quânticos, Alice e Bob, os pesquisadores podem adivinhar os estados com 100% de precisão, mas apenas se eles pudessem usar números imaginários em suas medições locais. Quando proibido de usar números imaginários, tornou-se impossível distinguir com precisão os dois estados.^[2]

Potências de i

... (repete o padrão
da área azul)

i⁻³ = i

i⁻² = −1

i⁻¹ = −i

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = −1

iⁿ = i^m onde m ≡ n mod 4

As potências de i se repetem em ciclos de 4 valores, seguindo o padrão das primeiras potências inteiras não negativas:

i^{0}=1

i^{1}=i

i^{2}=-1

i^{3}=i\cdot i^{2}=i\cdot (-1)=-i

De forma geral, se $n\in$ ℕ , dividimos n por 4 e considera-se o resto dessa divisão como o novo expoente de $i.$ ^[3]

Por exemplo:

$i^{244}=i^{0}=1,$ visto que $244\div 4=61$ e o resto da divisão é igual a 0;
$i^{33}=i^{1}=i,$ pois $33\div 4=8$ e apresenta resto 1;
$i^{50}=i^{2}=-1,$ devido a $50\div 4=12$ e ter como resto o valor 2;

No caso de n ser um expoente inteiro negativo, fazemos uso do conceito de inverso:

i^{-n}={\frac {1}{i^{n}}}.

Referências

↑ An Imaginary Tale: The Story of i (the square root of minus one), por Paul J. Nahin, no site Princeton University Press
↑ May 2021, Stephanie Pappas-Live Science Contributor 10. «'Imaginary' numbers are real (sort of)». livescience.com (em inglês). Consultado em 10 de maio de 2021
↑ Mello, José Luiz Pastore (2005). Matemática: construção e significado. São Paulo: Moderna. 576 páginas |acessodata= requer |url= (ajuda)