Partícula em um potencial esfericamente simétrico

Um problema importante na mecânica quântica é o de uma partícula num potencial esfericamente simétrico, isto é, um potencial que depende apenas da distância entre a partícula e um ponto central definido. Em particular, se a partícula em questão é um elétron e o potencial é derivado da lei de Coulomb, então o problema pode ser usado para descrever um átomo de hidrogênio (um elétron ou íon).

No caso geral, a dinâmica de uma partícula em um potencial esfericamente simétrico é governada por um hamiltoniano da seguinte forma:

H ^ = p ^ 2 2 m 0 + V ( r ) {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V(r)}


onde m 0 {\displaystyle m_{0}} é a massa da partícula, p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} é o operador momentum, e o potencial V ( r ) {\displaystyle V(r)} depende apenas de r {\displaystyle r} , o módulo do vetor raio; r. As funções e energias da onda quântica (autovalores) são encontradas resolvendo a equação de Schrödinger com este hamiltoniano. Devido à simetria esférica do sistema, é natural usar coordenadas esféricas r {\displaystyle r} , θ {\displaystyle \theta } e ϕ {\displaystyle \phi } . Quando isso é feito, a equação de Schrödinger independente do tempo para o sistema é separável, permitindo que os problemas angulares sejam tratados facilmente, e deixando uma equação diferencial ordinária em r {\displaystyle r} para determinar as energias para o potencial particular V ( r ) {\displaystyle V(r)} em discussão.

Referências

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