Quocientes de determinantes

A interpolação polinomial que utiliza os quocientes de determinantes foi desenvolvida pelo engenheiro mecânico e matemático brasileiro Marcello José Quintieri Pinheiro (Nova Friburgo, 8 de março de 1965) em 2003 a partir da fórmula clássica de interpolação de Lagrange. Os coeficientes polinomiais como quocientes de determinantes podem também ser obtidos utilizando-se a Regra de Cramer. Os quocientes de determinantes permitem calcular todos os coeficientes de um polinômio de grau n − {\displaystyle -} 1 definido pelos pontos (x1,y1), (x2,y2), ... , (xn,yn). O desenvolvimento foi registrado sob o número 294206 no EDA da Fundação Biblioteca Nacional do Rio de Janeiro em 30 de julho de 2003 [1].

A fórmula de interpolação de Lagrange desenvolvida como resultado dos trabalhos do matemático Joseph Louis Lagrange (Turim, 25 de janeiro de 1736 - Paris, 10 de abril de 1813) é:

y = ∑ i = 1 n y i ∏ i ≠ j n ( x − x j ) ( x i − x j ) {\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\prod _{i\neq j}^{n}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}}

A fórmula de interpolação de Lagrange pode ser escrita como o somatório do produto entre a razão de determinantes e a variável independente xi, como segue:

y = ∑ i = 0 n − 1 d e t A i d e t V n x i {\displaystyle y=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {detA_{i}}{detV_{n}}}x^{i}}

onde a i = d e t A i d e t V n {\displaystyle a_{i}={\frac {detA_{i}}{detV_{n}}}} são os coeficientes de um polinômio de grau n − {\displaystyle -} 1 definido pelos n pontos (x1,y1), (x2,y2), . . . , (xn,yn). O índice i é um número inteiro do intervalo 0 ≤ i ≤ n − 1. {\displaystyle 0\leq i\leq n-1.} Ai e Vn são matrizes, sendo Vn a matriz de Vandermonde de ordem n ≥ 2. {\displaystyle n\geq 2.}

Considerando dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), tem-se:

y = | y 1 x 1 y 2 x 2 | | 1 x 1 1 x 2 | + | 1 y 1 1 y 2 | | 1 x 1 1 x 2 | x {\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}\\y_{2}&x_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}+{\frac {\begin{vmatrix}1&y_{1}\\1&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}x}
que é a função do 1o grau ou função afim y = a 0 + a 1 x , {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x,} onde a0 é o coeficiente linear da reta e a1 é o coeficiente angular ou declividade da reta. O coeficiente linear determina o ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas (eixo y) e o coeficiente angular é determinado pela tangente do ângulo definido entre o eixo das abscissas (eixo x) e a reta no sentido anti-horário em relação ao primeiro quadrante.
a 0 = | y 1 x 1 y 2 x 2 | : | 1 x 1 1 x 2 | {\displaystyle a_{0}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}\\y_{2}&x_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}
a 1 = | 1 y 1 1 y 2 | : | 1 x 1 1 x 2 | {\displaystyle a_{1}={\begin{vmatrix}1&y_{1}\\1&y_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}}

Considerando três pontos (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3), tem-se:

y = | y 1 x 1 x 1 2 y 2 x 2 x 2 2 y 3 x 3 x 3 2 | | 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 | + | 1 y 1 x 1 2 1 y 2 x 2 2 1 y 3 x 3 2 | | 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 | x + | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | | 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 | x 2 {\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}+{\frac {\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}x+{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}x^{2}}
que é a função do 2o grau ou função quadrática y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 , {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},} a 2 {\displaystyle a_{2}} ≠ {\displaystyle \neq } 0. {\displaystyle 0.}
a 0 = | y 1 x 1 x 1 2 y 2 x 2 x 2 2 y 3 x 3 x 3 2 | : | 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 | {\displaystyle a_{0}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}
a 1 = | 1 y 1 x 1 2 1 y 2 x 2 2 1 y 3 x 3 2 | : | 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 | {\displaystyle a_{1}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}
a 2 = | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | : | 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 | {\displaystyle a_{2}={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}}

Se | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | = 0 , {\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0,} então os pontos (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares.

Considerando quatro pontos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) e (x4,y4), tem-se:

y = | y 1 x 1 x 1 2 x 1 3 y 2 x 2 x 2 2 x 2 3 y 3 x 3 x 3 2 x 3 3 y 4 x 4 x 4 2 x 4 3 | | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | + | 1 y 1 x 1 2 x 1 3 1 y 2 x 2 2 x 2 3 1 y 3 x 3 2 x 3 3 1 y 4 x 4 2 x 4 3 | | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | x + | x 1 y 1 1 x 1 3 x 2 y 2 1 x 2 3 x 3 y 3 1 x 3 3 x 4 y 4 1 x 4 3 | | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | x 2 + | x 1 y 1 x 1 2 1 x 2 y 2 x 2 2 1 x 3 y 3 x 3 2 1 x 4 y 4 x 4 2 1 | | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | x 3 {\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\y_{4}&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}+{\frac {\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&y_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}x+{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1&x_{1}^{3}\\x_{2}&y_{2}&1&x_{2}^{3}\\x_{3}&y_{3}&1&x_{3}^{3}\\x_{4}&y_{4}&1&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}x^{2}+{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}&1\\x_{4}&y_{4}&x_{4}^{2}&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}x^{3}}
que é a função do 3o grau ou função cúbica y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 , {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},} a 3 {\displaystyle a_{3}} ≠ {\displaystyle \neq } 0. {\displaystyle 0.}
a 0 = | y 1 x 1 x 1 2 x 1 3 y 2 x 2 x 2 2 x 2 3 y 3 x 3 x 3 2 x 3 3 y 4 x 4 x 4 2 x 4 3 | : | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | {\displaystyle a_{0}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\y_{4}&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}
a 1 = | 1 y 1 x 1 2 x 1 3 1 y 2 x 2 2 x 2 3 1 y 3 x 3 2 x 3 3 1 y 4 x 4 2 x 4 3 | : | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | {\displaystyle a_{1}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&y_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}
a 2 = | x 1 y 1 1 x 1 3 x 2 y 2 1 x 2 3 x 3 y 3 1 x 3 3 x 4 y 4 1 x 4 3 | : | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | {\displaystyle a_{2}={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1&x_{1}^{3}\\x_{2}&y_{2}&1&x_{2}^{3}\\x_{3}&y_{3}&1&x_{3}^{3}\\x_{4}&y_{4}&1&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}
a 3 = | x 1 y 1 x 1 2 1 x 2 y 2 x 2 2 1 x 3 y 3 x 3 2 1 x 4 y 4 x 4 2 1 | : | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | {\displaystyle a_{3}={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}&1\\x_{4}&y_{4}&x_{4}^{2}&1\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}}

Se os pontos (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4), . . . , (xn,yn) são colineares, então

| y 1 x 1 y 2 x 2 | : | 1 x 1 1 x 2 | = | y 1 x 1 x 1 2 y 2 x 2 x 2 2 y 3 x 3 x 3 2 | : | 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 | = | y 1 x 1 x 1 2 x 1 3 y 2 x 2 x 2 2 x 2 3 y 3 x 3 x 3 2 x 3 3 y 4 x 4 x 4 2 x 4 3 | : | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | = . . . = a 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}\\y_{2}&x_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{1}&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\y_{2}&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\y_{3}&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\y_{4}&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}=...=a_{0}}

e

| 1 y 1 1 y 2 | : | 1 x 1 1 x 2 | = | 1 y 1 x 1 2 1 y 2 x 2 2 1 y 3 x 3 2 | : | 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 | = | 1 y 1 x 1 2 x 1 3 1 y 2 x 2 2 x 2 3 1 y 3 x 3 2 x 3 3 1 y 4 x 4 2 x 4 3 | : | 1 x 1 x 1 2 x 1 3 1 x 2 x 2 2 x 2 3 1 x 3 x 3 2 x 3 3 1 x 4 x 4 2 x 4 3 | = . . . = a 1 {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&y_{1}\\1&y_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&y_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&y_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&y_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&y_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&x_{3}^{3}\\1&x_{4}&x_{4}^{2}&x_{4}^{3}\end{vmatrix}}=...=a_{1}}

tal que y = a 0 + a 1 x . {\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x.}

Referências

  1. ↑ Pinheiro, M. J. Q., "Funções polinomiais com coeficientes de razões de determinantes". Registro de propriedade intelectual no 294206 de 30 de julho de 2003. Escritório de Direitos Autorais da Fundação Biblioteca Nacional, 2003.
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