Radiano

Medida angular em radianos

O radiano (símbolo: rad ou, mais raramente, c) é a razão entre o comprimento de um arco e o seu raio. Ele é a unidade padrão de medida angular utilizada em muitas áreas da matemática. É uma das unidades derivadas do Sistema Internacional. Em algumas situações, o radiano é considerado um número adimensional e a escrita do seu símbolo é pouco utilizada.

Definição

Radiano (1 rad) é o ângulo definido em um círculo por um arco de circunferência com o mesmo comprimento que o raio do referido círculo.

1 rad = m·m−1 = 1.

Explicação

Um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio r (em vermelho) corresponde a um ângulo de 1 radiano (em verde). A metade da circunferência corresponde a π radianos e uma circunferência completa a 2π.

O radiano é útil para distinguir entre quantidades de diferentes naturezas, mas com a mesma dimensão. Por exemplo, velocidade angular pode ser medida em radianos por segundo (rad/s). Fixando a palavra radiano enfatiza-se o fato de a velocidade angular ser igual a 2π vezes a frequência rotacional.

Na prática, o símbolo rad é usado quando tal for apropriado, mas a unidade derivada "1" é geralmente omitida quando combinada com um valor numérico.

Ângulos medidos em radianos são frequentemente apresentados sem qualquer unidade explícita. Quando, porém, uma unidade é apresentada, tanto o símbolo rad quanto o símbolo c (de "circular") costumam ser utilizados. É preciso ter cuidado com este último, em virtude da confusão que pode existir com o símbolo de grau ordinário °.

Existem 2π (aproximadamente 6,28318531) radianos num círculo completo, portanto:

2 π  rad = 360 ∘ {\displaystyle 2\pi {\mbox{ rad}}=360^{\circ }}
1  rad = 360 ∘ 2 π = 180 ∘ π ≈ 57 , 29577951 ∘ {\displaystyle 1{\mbox{ rad}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57,\!29577951^{\circ }}

ou:

360 ∘ = 2 π  rad {\displaystyle 360^{\circ }=2\pi {\mbox{ rad}}}
1 ∘ = 2 π 360  rad = π 180  rad ≈ 0 , 01745329  rad {\displaystyle 1^{\circ }={\frac {2\pi }{360}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{180}}{\mbox{ rad}}\approx 0,\!01745329{\mbox{ rad}}}

Mais genericamente, podemos dizer:

x  rad = x 180 ∘ π {\displaystyle x{\mbox{ rad}}=x{\frac {180^{\circ }}{\pi }}}

Se, por exemplo, − 1 , 570796 {\displaystyle -1,\!570796} em radianos foi dado, o ângulo ordinário correspondente seria:

− 1 , 570796  rad = − 1 , 570796 ⋅ 180 ∘ π = − 90 ∘ {\displaystyle -1,\!570796{\mbox{ rad}}=-1,\!570796\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=-90^{\circ }}

Em cálculos, ângulos devem ser representados em radianos nas funções trigonométicas, dado que simplifica e torna as coisas mais naturais. Por exemplo, o uso de radianos leva à identidade com:[1]

lim h → 0 s e n h h = 1 {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\mathrm {sen} \,h}{h}}=1}

que é a base de muitas outras elegantes identidades em matemática, incluindo:

d d x s e n x = cos ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\mathrm {sen} \,x=\cos x}

Conversões

Um gráfico para converter entre graus e radianos
Conversão de ângulos comuns
Voltas Radianos Graus Grados
0 0 0° 0g
124 π12 15° 162g
112 π6 30° 331g
110 π5 36° 40g
18 π4 45° 50g
12π 1 c. 57.3° c. 63.7g
16 π3 60° 662g
15 2π5 72° 80g
14 π2 90° 100g
13 2π3 120° 1331g
25 4π5 144° 160g
12 π 180° 200g
34 3π2 270° 300g
1 2π 360° 400g

Referências

  1. ↑ For a debate on this meaning and use see: Brownstein, K. R. (1997). «Angles—Let's treat them squarely». American Journal of Physics. 65 (7). 605 páginas. doi:10.1119/1.18616 , Romain, J.E. (1962). «Angles as a fourth fundamental quantity». Journal of Research of the National Bureau of Standards-B. Mathematics and Mathematical Physics. 66B (3). 97 páginas , LéVy-Leblond, Jean-Marc (1998). «Dimensional angles and universal constants». American Journal of Physics. 66 (9). 814 páginas. doi:10.1119/1.18964 , and Romer, Robert H. (1999). «Units—SI-Only, or Multicultural Diversity?». American Journal of Physics. 67. 13 páginas. doi:10.1119/1.19185 

Ver também

  • Esferorradiano
  • Grado