Raio clássico do elétron

O raio clássico do elétron é uma combinação de quantidades físicas fundamentais que definem um comprimento de escala para os problemas que envolvem os elétrons que interagem com a radiação eletromagnética. De acordo com a compreensão moderna, o elétron é uma partícula elementar com carga puntual, sem extensão espacial. Tentativas de modelar o elétron como uma partícula não-puntual são consideradas mal-concebidas e contra-pedagógicas.^[1] No entanto, é útil para definir um comprimento que surge nas interações do elétron em problemas de escalas atômicas. O raio clássico do elétron é dado como (em unidades SI):

${\displaystyle r_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}=2,8179403227(19)\times 10^{-15}{\text{ m}},}$

onde ${\displaystyle e}$ e ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ são a carga elétrica e a massa do elétron, ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz, e ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ é a permissividade do vácuo.^[2] Este valor numérico é várias vezes maior do que o raio do próton.

Em unidades CGS, o fator permissividade não é considerado, mas o raio clássico do elétron mantém o mesmo valor.

O raio clássico do elétron é às vezes conhecido como raio de Lorentz ou comprimento do espalhamento de Thomson. É uma das três escalas relacionadas de comprimento, sendo as outras duas o raio de Bohr e o comprimento de onda Compton do elétron. O raio clássico do elétron é obtido a partir da massa do elétron ${\displaystyle m_{\text{e}}}$, da velocidade da luz ${\displaystyle c}$ e da carga do elétron ${\displaystyle e}$. O raio de Bohr é obtido a partir de ${\displaystyle m_{\text{e}}}$, ${\displaystyle e}$ e da constante de Planck ${\displaystyle h}$. O comprimento de onda Compton é obtido a partir de ${\displaystyle m_{\text{e}}}$, ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle c}$. Qualquer uma dessas três escalas de comprimento pode ser escrita em termos de qualquer outra usando a constante de estrutura ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle r_{\text{e}}={\alpha {{\hbar c} \over {m_{\text{e}}c^{2}}}}={\alpha {\lambda _{\text{e}} \over 2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}.}$

Derivação

A motivação para a obtenção do raio clássico do elétron pode estar no cálculo da energia necessária para manter uma quantidade de carga ${\displaystyle q}$ em uma esfera de um determinado raio ${\displaystyle r}$.^[3] O potencial eletrostático a uma distância r de uma carga ${\displaystyle q}$ é

${\displaystyle V(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}}$.

Para trazer uma quantidade adicional de carga ${\displaystyle dq}$ desde o infinito, necessita-se colocar energia no sistema, ${\displaystyle dU}$

${\displaystyle dU=V(r)dq}$.

Ao assumir que a esfera tem uma densidade de carga constante, ${\displaystyle \rho }$, temos

${\displaystyle q=\rho {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$ e ${\displaystyle dq=\rho 4\pi r^{2}dr}$.

Fazendo a integração de ${\displaystyle r}$ começando em zero até um raio final ${\displaystyle r}$ leva-nos à expressão da energia total, ${\displaystyle U}$, necessária para manter a carga total ${\displaystyle q}$ em uma esfera uniforme de raio ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle U={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3}{5}}{\frac {q^{2}}{r}}}$.

Esta é a chamada auto-energia eletrostática do objeto. A carga ${\displaystyle q}$ é agora interpretada como um elétron de carga ${\displaystyle e}$ e energia ${\displaystyle U}$ definida igual à massa-energia relativística do elétron, ${\displaystyle mc^{2}}$ e o fator numérico 3/5 é ignorado como sendo específico para o caso especial de uma densidade de carga uniforme. O raio ${\displaystyle r}$ é, então, definido como sendo o raio clássico do elétron, ${\displaystyle r_{\text{e}}}$ e chega-se à expressão dada acima.

Note que esta derivação não dizer que ${\displaystyle r_{\text{e}}}$ é o raio de um elétron. Ela apenas estabelece uma ligação dimensional entre a energia eletrostática e a massa-energia do elétron.

Discussão

O raio do elétron ocorre no limite clássico das teorias modernas, tais como o espalhamento Thomson não-relativístico e a fórmula relativística Klein–Nishina. Além disso, ${\displaystyle r_{\text{e}}}$ é mais ou menos o comprimento de escala em que a renormalização se torna importante na eletrodinâmica quântica. Isto é, em distâncias pequenas, flutuações quânticas no vácuo ao redor de um elétron começam a ter efeitos calculáveis, que tem consequências mensuráveis na física atômica e de partículas.

Referências

Ligações externas

• Escalas de comprimento em Física: o raio clássico do elétron