Sétimo problema de Hilbert

O sétimo problema de Hilbert é um dos Problemas de Hilbert, propostos por David Hilbert em 1900. Este problema trata da natureza irracional e transcendental de alguns números (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Duas questões específicas são feitas:

1. Em um triângulo isósceles, se a razão entre o ângulo da base e o ângulo do vértice é um número algébrico irracional, então a razão entre a base o lado será transcendente?
2. ${\displaystyle a^{b}}$ é sempre transcendente, quando ${\displaystyle a\not \in \{0,1\}}$ for algébrico e ${\displaystyle b}$ for algébrico irracional?

A segunda pergunta foi respondida afirmativamente por Alexander Gelfond em 1934, e refinada por Theodor Schneider em 1935. Este resultado é conhecido como o teorema de Gelfond ou o teorema de Gelfond-Schneider.

Note-se que b não pode ser racional ou transcendente: se b for racional, então ${\displaystyle a^{b}}$ será algébrico; do mesmo modo, existem valores transcendentes de b (por exemplo, ${\displaystyle b=\log _{a}10\,}$) para os quais ${\displaystyle a^{b}}$ será algébrico (nesse exemplo, ${\displaystyle a^{b}=10}$)

Uma das generalizações é:

${\displaystyle b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0}$

da forma linear generalizada dos logaritmos que foi tratada por Alan Baker.

Ligações externas

• «Tradução para o inglês da questão original do Hilbert»