Seminorma

Em matemática, uma seminorma consiste numa função que associa cada vetor de um espaço vetorial em um número real não negativo.

Definição

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço vetorial sobre um corpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (reais ou complexos). Uma seminorma ${\displaystyle p}$ em ${\displaystyle X}$ é toda função cujo domínio é ${\displaystyle X}$ e cujo contra-domínio são os reais não-negativos que satisfaça os seguintes axiomas:

• ${\displaystyle p(x)\geq 0,~~\forall x\in X}$;

• ${\displaystyle p(\alpha x)=|\alpha |p(x),~~\forall x\in X,\forall \alpha \in \mathbb {K} }$;

• ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y),~~\forall x,y\in X}$.

Fique bem claro que toda norma é também uma seminorma. À diferença de uma norma, pode acontecer ${\displaystyle p(x)=0}$ mesmo quando ${\displaystyle x\neq 0}$.

Também é claro da definição que ${\displaystyle p(\mathbf {0} )=p(0\cdot \mathbf {0} )=0.p(\mathbf {0} )=0}$.

Partição induzida por uma seminorma

Seja ${\displaystyle p}$ uma seminorma em ${\displaystyle X}$, então pode-se definir a relação de equivalência:

${\displaystyle x\sim y\Longleftrightarrow p(x-y)=0}$.

Então pode-se definir uma norma no espaço quociente ${\displaystyle X/\sim }$, como:

${\displaystyle \|[x]\|=p(x)}$, onde ${\displaystyle x}$ é qualquer elemento de sua classe de equivalência ${\displaystyle [x]}$.

Este procedimento é largamente usado na análise funcional para construir espaços normados, como, por exemplo o espaço Lp.

Ver também

• Espaço vetorial topológico
• Funcional de Minkowski
• Norma

• Função não expansiva
• Função identidade
• Transformação geométrica
• Função afim
• Mapeamento contrativo