Subespaço vetorial

Sejam V e W espaços vetoriais definidos sobre o mesmo corpo F. W é um subespaço vetorial de V quando, como conjunto, W é um subconjunto não vazio de V, e as operações +: W x W -> W e .: F x W -> W são as mesmas que +: V x V -> V e .: F x V -> V, quando efetuadas em elementos de W.

Definição

A definição rigorosa de subespaço vetorial tem a seguinte forma:

Sejam ${\displaystyle (V,F,\oplus _{V},\otimes _{V},+,\times )\,}$ e ${\displaystyle (W,F,\oplus _{W},\otimes _{W},+,\times )\,}$ espaços vetoriais sobre o corpo ${\displaystyle (F,+,\times )\,}$. Então W é um subespaço vetorial de V se, além de ser não vazio, satisfizer:

• ${\displaystyle W\subset V\,}$

• ${\displaystyle \forall w_{1}\forall w_{2}(w_{1}\in W\land w_{2}\in W\rightarrow w_{1}\oplus _{W}w_{2}=w_{1}\oplus _{V}w_{2})\,}$

• ${\displaystyle \forall x\forall w(x\in F\land w\in W\rightarrow x\otimes _{W}w=x\otimes _{V}w)\,}$

Essas duas últimas propriedades podem ser sucintamente representadas por:

• ${\displaystyle \oplus _{V}/(W\times W)=\oplus _{W}\,}$

• ${\displaystyle \otimes _{V}/(F\times W)=\oplus _{W}\,}$

usando a definição de restrição de uma função a subconjunto de seu domínio.

De modo geral, quando se diz que ${\displaystyle (V,F,\oplus ,\otimes ,+,\times )\,}$ é um espaço vetorial e ${\displaystyle W\subset V\,}$, presume-se que as operações em W são as mesmas de V, então para se provar que W é um subespaço vetorial de V basta provar que W é um espaço vetorial, ou seja, que ${\displaystyle 0_{V}\in W\,}$ e que as operações de soma de vetores de W e de multiplicação de escalar por vetor de W geram elementos de W.

Exemplos

• Em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,}$, o conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \{0\}\,}$ é um subespaço vetorial.

• Se considerarmos que ${\displaystyle \mathbb {C} \,}$ é um espaço vetorial sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$, então ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ é um subespaço vetorial.

• O conjunto ${\displaystyle W=\{(x,y,z):x+y+z=0\}}$ é um subespaço vetorial de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

• O conjunto dado pelas equações paramétricas ${\displaystyle W=\{(u+3v,-u-v,2u+v):u,v\in \mathbb {R} \}}$ é um subespaço vetorial de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

• Os exemplos acimas são casos particulares de uma classe de exemplos: seja ${\displaystyle L:V\to W\,}$ uma função linear. Então o núcleo de L (denotado por ker(L)) e a imagem de L (denotada por Im(L)) são subespaços vetoriais, respectivamente, de V e W.

Ver também

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Livros e manuais no Wikilivros

• Base de um Espaço Vetorial